2026학년도 6월 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [260613m]

이 문제의 핵심 문장은 “넓이 세 개를 각각 구하지 말고, 위아래가 바뀌는 부호까지 포함해서 한 번에 보자”이다. 6월 모의고사 수학 13번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

---

문제

검색 코드: 260613m

---

정답

정답: ④ 8/3

---

해설

이 문제는 넓이 계산 문제처럼 보이지만, 사실은 “부호 있는 적분”을 알아보는 문제다. A, B, C를 따로 계산하면 실수하기 좋다.

Step 1. 곡선과 직선의 차이를 잡자

곡선이 직선보다 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수가 나오도록 차이를 잡는다. 직선을 $l(x)=x/3-2/3$이라 두면

$D(x)=f(x)-l(x)=3x^2-7x+2-(x/3-2/3)$

$=3x^2-(22/3)x+8/3$.

교점은 $D(x)=0$에서 나온다. 분모를 없애면

$9x^2-22x+8=0$

이고,

$9x^2-22x+8=(9x-4)(x-2)$

이므로 교점의 $x$좌표는 $x=4/9$, $x=2$이다.

Step 2. 넓이 조건을 적분 하나로 바꾸자

$D(0)=8/3>0$이고 이차항 계수가 양수이므로, $x=0$부터 $k$까지 부호는 $+$, $-$, $+$ 순서로 바뀐다.

따라서 그림의 세 넓이는 다음처럼 쓸 수 있다.

$A=\int_0^{4/9}D(x)\,dx$

$B=-\int_{4/9}^{2}D(x)\,dx$

$C=\int_2^kD(x)\,dx$

여기서 $B$ 앞에 마이너스가 붙는 이유는 $4/9<x<2$에서 직선이 곡선보다 위에 있어 $D(x)<0$이기 때문이다.

Step 3. 조건식을 정리하자

문제의 조건은 $A+C=B$이다. 위의 적분식으로 바꾸면

$\int_0^{4/9}D(x)\,dx+\int_2^kD(x)\,dx=-\int_{4/9}^{2}D(x)\,dx$

이다. 오른쪽 항을 왼쪽으로 넘기면

$\int_0^{4/9}D(x)\,dx+\int_{4/9}^{2}D(x)\,dx+\int_2^kD(x)\,dx=0$

이므로 결국

$\int_0^kD(x)\,dx=0$

만 풀면 된다. 이 한 줄이 세 넓이를 각각 계산하지 않아도 되는 이유다.

Step 4. 원시함수를 인수분해하자

$D(x)=3x^2-(22/3)x+8/3$이므로

$\int_0^kD(x)\,dx=[x^3-(11/3)x^2+(8/3)x]_0^k$

$=k^3-(11/3)k^2+(8/3)k$

$=k(3k^2-11k+8)/3$

$=k(3k-8)(k-1)/3$.

따라서 $\int_0^kD(x)\,dx=0$은

$k(3k-8)(k-1)/3=0$

과 같다.

Step 5. $k>2$ 조건으로 답을 고르자

후보는 $k=0$, $k=1$, $k=8/3$이다.

하지만 그림에서 $k$는 두 번째 교점 $x=2$보다 오른쪽에 있다. 즉 $k>2$를 만족해야 한다.

세 후보 중 이 조건을 만족하는 값은 $k=8/3$뿐이다. 따라서 정답은 ④ $8/3$이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• A, B, C를 각각 절댓값 넓이로 계산하려고 하면 분수 계산이 커진다.
• 영역 B가 두 교점 사이의 넓이라는 점은 보지만, $A+C=B$를 부호 있는 적분 하나로 바꾸는 생각을 놓치기 쉽다.
• $y$축이 등장해서 $x=0$부터 누적하는 관점이 힌트라는 점을 잘 못 본다.
• 교점 $4/9$, $2$와 누적 적분값의 영점 $0$, $1$, $8/3$을 섞어 쓰면 안 된다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 곡선과 직선의 차이를 잡자
2. 넓이 조건을 적분 하나로 바꾸자
3. 조건식을 정리하자
4. 원시함수를 인수분해하자
5. $k>2$ 조건으로 답을 고르자

---

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260613m → 2026학년도 6월 모의고사 13번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답