2026학년도 6월 모의고사 수학 15번 쉬운 풀이 [260615m]

이 문제는 삼차함수 자체를 맞히는 문제가 아니라, $g$가 “오른쪽으로 갈수록 내려가는 함수”가 되도록 $f'$의 부호를 맞히는 문제다. 6월 모의고사 수학 15번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

---

문제

삼차함수 $f$, 구간별로 $f+k$와 $-f$를 붙인 함수 $g$가 오른쪽 미분계수 조건과 실근 개수 조건을 만족할 때 $k+f(1/2)$를 구하는 문제.

검색 코드: 260615m

---

정답

정답: ① 15/4

---

해설

조건 (가)는 $g$가 오른쪽으로 갈 때 증가하지 않는다는 뜻이다 = 우미분계수가 항상 존재하고 그 값이 0 이하이라고 표현했기 때문이다. 

Step 1. 구간별 미분계수 부호 보기

구간 내부에서는 오른쪽 미분계수를 보통 미분계수처럼 보면 된다. $|x|>1$에서는 $g(x)=f(x)+k$이므로 $g'(x)=f'(x)$이고, $-1<x<1$에서는 $g(x)=-f(x)$이므로 $g'(x)=-f'(x)$이다.

조건 (가)는 오른쪽 미분계수가 항상 $0$ 이하라는 뜻이다. 따라서 $|x|>1$에서는 $f'(x)\le 0$, $-1<x<1$에서는 $-f'(x)\le 0$, 즉 $f'(x)\ge 0$이다.

Step 2. $f'$ 결정

$f'$는 이차함수이고 $f'(0)=6>0$이다. 가운데 구간에서는 $0$ 이상, 양쪽 바깥에서는 $0$ 이하가 되어야 하므로, 양수인 구간이 정확히 $-1$과 $1$ 사이가 되어야 한다.

그래서 $f'$의 두 영점은 $x=-1$, $x=1$이고

$$f'(x)=a(x+1)(x-1)=a(x^2-1)$$

로 둘 수 있다. 여기에 $f'(0)=6$을 넣으면 $-a=6$, 즉 $a=-6$이다.

따라서

$$f'(x)=6(1-x^2),\qquad f(x)=-2x^3+6x+C$$

이다.

Step 3. $x=1$에서 이어 붙이기

$x=1$에서는 실제 함수값은 가운데 식을 쓰므로 $g(1)=-f(1)$이다. 그런데 $1$보다 조금 큰 쪽에서는 $g(x)=f(x)+k$를 쓴다.

오른쪽 미분계수

$$\lim_{x\to 1+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}$$

가 유한하게 존재하려면, 먼저 오른쪽에서 다가오는 함수값이 $g(1)$과 같아야 한다. 즉

$$f(1)+k=-f(1)$$

이므로

$$k=-2f(1)=-2(C+4)=-2C-8$$

이다.

Step 4. 세 구간의 값의 범위

$k=-2C-8$을 넣으면 바깥 구간에서는

$$g(x)=f(x)+k=-2x^3+6x-C-8$$

이고, 가운데 구간에서는

$$g(x)=-f(x)=2x^3-6x-C$$

이다. 각 구간에서 $g$는 모두 오른쪽으로 갈수록 감소한다.

구간	$g(x)$	값의 범위
$x<-1$	$-2x^3+6x-C-8$	$(-C-12,\ \infty)$
$-1\le x\le 1$	$2x^3-6x-C$	$[-C-4,\ -C+4]$
$x>1$	$-2x^3+6x-C-8$	$(-\infty,\ -C-4)$

왼쪽 바깥 구간의 끝값은 포함되지 않는다. $x=-1$은 가운데 구간에 속하기 때문이다. 오른쪽 바깥 구간도 $x=1$을 포함하지 않으므로 끝값 $-C-4$는 가운데 구간에서만 포함된다.

Step 5. 최댓값 13으로 상수 결정

이제 $g(x)=t$의 해 개수를 값의 범위가 몇 번 겹치는지로 센다.

• $t\le -C-12$이면 오른쪽 바깥 구간에서만 $1$개이다.
• $-C-12<t<-C-4$이면 왼쪽 바깥과 오른쪽 바깥에서 각각 $1$개씩, 총 $2$개이다.
• $t=-C-4$이면 왼쪽 바깥에서 $1$개, 가운데 끝점 $x=1$에서 $1$개로 총 $2$개이다.
• $-C-4<t\le -C+4$이면 왼쪽 바깥과 가운데에서 각각 $1$개씩, 총 $2$개이다.
• $t>-C+4$이면 왼쪽 바깥 구간에서만 $1$개이다.

따라서 해가 $2$개가 되는 $t$의 범위는

$$-C-12<t\le -C+4$$

이고, 그 최댓값은 $-C+4$이다. 문제에서 이 최댓값이 $13$이므로

$$-C+4=13,\qquad C=-9$$

이다.

Step 6. 계산

$C=-9$를 넣으면

$$k=-2C-8=18-8=10$$

이다. 또

$$f\left(\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{8}\right)+6\left(\frac{1}{2}\right)-9=-\frac{1}{4}+3-9=-\frac{25}{4}$$

이므로

$$k+f\left(\frac{1}{2}\right)=10-\frac{25}{4}=\frac{15}{4}$$

이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• 오른쪽 미분계수 조건을 “오른쪽으로 갈수록 증가하지 않는다”는 말로 해석하지 못하면 시작이 어렵다.
• $x=1$에서 $g(1)$은 $-f(1)$이고, 오른쪽 근방은 $f(x)+k$라는 점을 놓치기 쉽다. 이 점에서 이어져야 오른쪽 미분계수가 유한하게 존재한다.
• 실근 개수 조건은 방정식을 직접 풀기보다, 세 구간에서 $g$의 값의 범위를 겹쳐 보는 문제다.
• $x=-1$에서는 오른쪽으로 들어가면 같은 가운데 식 $-f$를 쓰므로, $k$ 조건이 바로 생기지 않는다. $x=1$과 역할이 다르다.
• 끝값 포함 여부가 답을 흔든다. $x=-1$과 $x=1$은 가운데 구간에 들어가므로, 바깥 구간의 범위는 양끝이 열린 형태로 잡아야 한다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 구간별 미분계수 부호 보기
2. $f'$ 결정
3. $x=1$에서 이어 붙이기
4. 세 구간의 값의 범위
5. 최댓값 13으로 상수 결정
6. 계산

2026학년도 6월 수학 모의고사 문제 모음

---

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260615m은 2026학년도 6월 모의고사 15번 수학 글입니다.

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답