2026학년도 6월 모의고사 수학 14번 쉬운 풀이 [260614m]

“각도는 구하지 말자”가 이 문제의 핵심 설명 포인트다. 6월 모의고사 수학 14번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

삼각형 ABC에서 중점 P, 내분점 Q, 사인비 조건을 이용하여 외접원의 넓이를 구하는 문제.

검색 코드: 260614m

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정답

정답: ② $88\pi/9$

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해설

이 문제는 사인법칙을 “각도 계산”으로 쓰면 길어진다. 사인비를 길이비로 바꾸는 순간 절반 이상 끝난다.

Step 1. 사인비를 길이비로 바꾸기

삼각형 $APQ$에서 사인법칙을 변의 비로 읽는다. 각 $\angle QAP$의 맞은편 변은 $PQ$, 각 $\angle APQ$의 맞은편 변은 $AQ$이다.

$\frac{PQ}{AQ}=\frac{\sin \angle QAP}{\sin \angle APQ}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

조건에서 $AQ=3\sqrt{2}$이므로 $\frac{PQ}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$, 따라서 $PQ=2$이다.

Step 2. BC 길이 구하기

$BC=L$이라 두자. $P$는 $BC$의 중점이므로 $BP=PC=\frac{L}{2}$이다.

$Q$는 $BC$를 $5:1$로 내분하므로 $BQ=\frac{5L}{6}$, $QC=\frac{L}{6}$이다.

따라서 $PQ=BQ-BP=\frac{5L}{6}-\frac{L}{2}=\frac{L}{3}$이다. 위에서 $PQ=2$였으므로 $\frac{L}{3}=2$, 즉 $BC=6$이다.

이제 $BP=3$, $BQ=5$, $QC=1$로 정리된다.

Step 3. 좌표로 A 찾기

$B=(0,0)$, $C=(6,0)$으로 두면 $P=(3,0)$, $Q=(5,0)$이다. $A=(u,v)$라고 하자.

조건 $AB=2\sqrt{7}$, $AQ=3\sqrt{2}$에서

$u^2+v^2=28$, $\quad (u-5)^2+v^2=18$

두 식을 빼면 $(u-5)^2-u^2=-10$이므로 $-10u+25=-10$, 따라서 $u=\frac{7}{2}$이다.

이를 $u^2+v^2=28$에 넣으면 $v^2=28-\frac{49}{4}=\frac{63}{4}$이다. 삼각형의 높이는 $|v|=\frac{3\sqrt{7}}{2}$이다.

Step 4. 외접원 넓이

먼저 $AC$를 구하면

$AC^2=\left(6-\frac{7}{2}\right)^2+\frac{63}{4}=\frac{25}{4}+\frac{63}{4}=22$

따라서 $AC=\sqrt{22}$이다.

삼각형 $ABC$의 넓이를 $\Delta$라 하면

$\Delta=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot \frac{3\sqrt{7}}{2}=\frac{9\sqrt{7}}{2}$

외접반지름 공식 $R=\frac{abc}{4\Delta}$를 쓰면

$R=\frac{6\cdot \sqrt{22}\cdot 2\sqrt{7}}{4\cdot \frac{9\sqrt{7}}{2}}=\frac{2\sqrt{22}}{3}$

따라서 외접원의 넓이는 $\pi R^2=\pi\left(\frac{2\sqrt{22}}{3}\right)^2=\frac{88\pi}{9}$이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• $\sin$ 비가 주어지면 각도를 구해야 한다고 생각하기 쉽다.
• $\sin \angle QAP$와 대응하는 변은 $AP$가 아니라 맞은편 변 $PQ$이다. 비의 방향을 뒤집지 않는 것이 중요하다.
• P, Q가 모두 $BC$ 위에 있으므로 $PQ$가 곧 $BC$의 일정 비율이라는 단순한 구조를 놓치기 쉽다.
• $BQ=5$, $QC=1$은 $BC=6$을 구한 뒤의 값이다. 처음에는 $BQ=\frac{5L}{6}$, $QC=\frac{L}{6}$로 두어야 한다.
• 외접원 넓이를 구할 때 각을 끝까지 추적하려고 하면 복잡해진다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 삼각형 $APQ$에서 사인비를 $\frac{PQ}{AQ}$로 바꾸기
2. $BC=L$로 두고 $PQ=\frac{L}{3}$에서 $BC=6$ 구하기
3. 좌표로 $A$를 찾아 $AC$와 높이 구하기
4. $R=\frac{abc}{4\Delta}$로 외접원 넓이 구하기

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2026.05.03 - [모의고사·수능/수학 2026학년도] - 2026학년도 6월 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [260613m]

2026학년도 6월 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [260613m]

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260614m → 2026학년도 6월 모의고사 14번 수학

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문제 해설 정답

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