2026학년도 6월 모의고사 수학 20번 쉬운 풀이 [260620m]

이 문제는 “합성함수 방정식을 값의 방정식으로 바꾸는 문제”라고 설명하면 좋다. 6월 모의고사 수학 20번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

260620 6월모의고사 공통 20번 문제

검색 코드: 260620m

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정답

정답: ( 주관식 ) 85

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해설

합성함수라고 해서 겁먹을 필요 없다. $f(x)$의 값이 어디로 들어가는지만 보면 된다.

Step 1. $y=f(x)$로 바꾸기

$0 \le x < 4$에서 $f(x)=-x^2+4x=4-(x-2)^2$이므로 $0 \le f(x) \le 4$이다.

따라서 $y=f(x)$라고 두면 내부값 $y$는 $[0,4]$ 안에 있고, 원래 식은 $f(y)=y$로 축소된다.

Step 2. 한 주기에서 고정점 찾기

먼저 $0 \le y < 4$에서는

$-y^2+4y=y$

$-y^2+3y=0$

$y(y-3)=0$

이므로 $y=0$ 또는 $y=3$이다.

끝값 $y=4$도 확인해야 한다. 함수의 주기가 4이므로 $f(4)=f(0)=0$이고, $f(4)=4$가 아니어서 고정점이 아니다.

결국 $f(f(x))=f(x)$가 되려면 $f(x)=0$ 또는 $f(x)=3$이어야 한다.

Step 3. 원래 x로 돌아오기

한 주기 $0 \le x < 4$에서 각각 풀어 보자.

$f(x)=0$이면 $-x^2+4x=0$, 즉 $x(4-x)=0$이다. 이 구간에서는 $x=0$만 들어간다.

$f(x)=3$이면 $-x^2+4x=3$이므로

$x^2-4x+3=0$

$(x-1)(x-3)=0$

따라서 $x=1,3$이다.

즉 한 주기에서 해는 $0,1,3$이고, 주기가 4이므로 이후에는 각각 $+4$씩 반복된다.

Step 4. 수열 항 계산

음이 아닌 해를 작은 것부터 쓰면

$0,1,3 \;/\; 4,5,7 \;/\; 8,9,11 \;/\; \cdots$

처럼 세 항씩 묶인다.

따라서 $n$번째 묶음은

$a_{3n-2}=4n-4,\quad a_{3n-1}=4n-3,\quad a_{3n}=4n-1$

이다. 여기서 문제의 빈칸은 $(가)=1$, $(나)=4$로 정리된다.

이제 $20=3\cdot 7-1$, $21=3\cdot 7$, $22=3\cdot 8-2$이므로

$a_{20}=4\cdot 7-3=25$

$a_{21}=4\cdot 7-1=27$

$a_{22}=4\cdot 8-4=28$

따라서 $(다)=a_{20}+a_{21}+a_{22}=25+27+28=80$이다.

최종적으로 $(가)+(나)+(다)=1+4+80=85$.

Tip. 자주 막히는 지점

• $f(f(x))=f(x)$를 직접 그래프로 두 번 합성하려고 하면 복잡해진다.
• $f(x)$의 치역이 $[0,4]$라는 사실을 먼저 보면 내부 함수값만 생각하면 되는데, 이 축소를 놓치기 쉽다.
• $y=4$는 범위 끝값처럼 보이지만 $f(4)=f(0)=0$이므로 고정점이 아니다.
• 마지막에 문제는 $a_{20}+a_{21}+a_{22}$가 아니라 $(가)+(나)+(다)$를 묻는다는 점을 놓칠 수 있다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. $y=f(x)$로 바꾸기
2. 한 주기에서 고정점 찾기
3. 원래 x로 돌아오기
4. 수열 항 계산

2026학년도 6월 수학 모의고사 문제 모음

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260620m → 2026학년도 6월 모의고사 20번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답