2026학년도 6월 모의고사 수학 21번 쉬운 풀이 [260621m]

이 문제는 극한 계산 문제가 아니라 “0이 되는 지점을 맞추는 문제”라고 설명해야 한다. 6월 모의고사 수학 21번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

$f(x)=(x-1)(x-2)$와 최고차항 계수 1인 사차함수 $g(x)$가 두 극한 존재 조건을 만족할 때 $g(-1)$을 구하는 문제.

검색 코드: 260621m

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정답

정답: ( 주관식 ) 42

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해설

극한 문제가 아니라 “분모와 부호가 사고 치는 지점 찾기” 문제다.

Step 1. 첫 번째 극한에서 $g(1)=g(2)=0$

$f(x)=(x-1)(x-2)$이므로 $f(x)>0$인 구간은 $x<1$, $x>2$이고, $f(x)<0$인 구간은 $1<x<2$이다.

따라서 $\frac{|f(x)|}{f(x)}$는 $x=1$에서 $1$에서 $-1$로, $x=2$에서 $-1$에서 $1$로 바뀐다.

$x\to1-$에서는 $g(x)\frac{|f(x)|}{f(x)}\to g(1)$이고, $x\to1+$에서는 $g(x)\frac{|f(x)|}{f(x)}\to -g(1)$이다. 두 좌우극한이 같으려면 $g(1)=0$이어야 한다.

마찬가지로 $x\to2-$에서는 $-g(2)$, $x\to2+$에서는 $g(2)$가 되므로 $g(2)=0$이다.

Step 2. $g=f h$로 두고 두 번째 극한 정리

위에서 $g(1)=g(2)=0$이므로 $g(x)$는 $f(x)$를 인수로 갖는다. 따라서

$g(x)=f(x)h(x)$

로 둘 수 있다. $g$는 최고차항 계수가 $1$인 사차함수이고 $f$는 최고차항 계수가 $1$인 이차식이므로, $h$는 최고차항 계수가 $1$인 이차식이다.

두 번째 극한의 식은

$\frac{|g(x)-f(x)|}{g(x)}=\frac{|f(x)(h(x)-1)|}{f(x)h(x)}$

이다. 만약 $h$가 $1,2$가 아닌 실근 $r$을 가지면 $g(r)=0$이지만 $f(r)\ne0$이어서 분모만 $0$이 된다. 그러면 극한이 존재할 수 없으므로, 나중에 구한 $h$가 추가 실근을 갖지 않는지도 확인해야 한다.

Step 3. 좌우극한을 맞추기 위해 $h(1)=h(2)=1$

$a=1$ 또는 $a=2$라고 하자. $f$는 $a$에서 부호가 바뀌므로, 위 식을

$\frac{|f(x)|}{f(x)}\cdot\frac{|h(x)-1|}{h(x)}$

처럼 보면 첫 번째 인자가 좌우에서 부호를 바꾼다. 만약 $h(a)=0$이면 분모의 $h(x)$ 때문에 극한이 망가지고, $h(a)\ne0,1$이면 두 번째 인자가 $0$이 아닌 값으로 가서 부호 점프가 그대로 남는다. 그래서 가능한 조건은 $h(a)=1$뿐이다.

따라서 조건은 $h(1)=1$, $h(2)=1$이다.

$h(x)=x^2+px+q$라고 두면

$h(1)=1\Rightarrow1+p+q=1\Rightarrow p+q=0$

$h(2)=1\Rightarrow4+2p+q=1\Rightarrow2p+q=-3$

이다. 두 식을 빼면 $p=-3$이고, $p+q=0$에서 $q=3$이다.

그래서 $h(x)=x^2-3x+3=(x-1)(x-2)+1$이다. 판별식은 $\Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=-3<0$이므로 $h$는 추가 실근을 갖지 않는다.

Step 4. $g(-1)$ 계산

$f(-1)=(-2)(-3)=6$이고,

$h(-1)=(-1)^2-3(-1)+3=1+3+3=7$이다.

따라서

$g(-1)=f(-1)h(-1)=6\cdot7=42$.

Tip. 자주 막히는 지점

• 첫 번째 극한에서 $\frac{|f|}{f}$가 단순히 $\pm1$이라는 사실을 떠올려야 한다.
• 두 번째 극한은 “분모가 0이 되는 지점”을 먼저 봐야 하는데, 식 전체를 전개하려고 하면 길어진다.
• $h(1)=h(2)=1$은 찍는 조건이 아니라, $h-1$이 $f$의 부호 점프를 없애야 해서 나오는 조건이다.
• $h$의 판별식을 확인해 추가 실근이 없다는 것까지 마무리해야 한다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 첫 번째 극한에서 $g(1)=g(2)=0$
2. $g=f h$, $h(x)=x^2+px+q$로 두기
3. 좌우극한을 맞추기 위해 $h(1)=h(2)=1$
4. $h(x)=x^2-3x+3$을 구한 뒤 $g(-1)=42$ 계산

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260621m → 2026학년도 6월 모의고사 21번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답