2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [260913m]

이 문제는 극한을 직접 계산하는 문제가 아니라 “분모가 어디서 0이 되는지 관리하는 문제”다. 9월 모의고사 수학 13번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

이차함수 $f(x)=x^2+6x+12$에 대해 모든 실수 $a$에서 극한값이 존재하도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하는 문제.

검색 코드: 260913m

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정답

정답: ④ 8

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해설

모든 실수에서 극한값이 존재하려면 분모가 사고 치는 지점을 없애야 한다.

Step 1. 분모 인수분해

분모를 먼저 본다.

$f(x)=x^2+6x+12=(x+3)^2+3$이므로 항상 양수다.

따라서 분모

$$(f(x))^2-k(x+2)f(x)=f(x){f(x)-k(x+2)}$$

Step 2. 판별식으로 실근 제거

가 0이 되는지는

$$f(x)=k(x+2)$$

만 보면 된다.

즉

$$x^2+6x+12=kx+2k$$

Step 3. $k=6$ 예외 처리

$$x^2+(6-k)x+(12-2k)=0$$

극한값이 모든 실수 $a$에서 존재하려면, 분모가 0이 되는 실수 $a$가 있으면 안 된다. 단, $a=0$에서는 분자 $x^2$도 0이므로 예외 가능성이 있다.

판별식은

$$D=(6-k)^2-4(12-2k)=k^2-4k-12=(k-6)(k+2)$$

실근이 없으려면

Step 4. 답

$$-2<k<6$$

정수는 $-1,0,1,2,3,4,5$로 7개.

또 $k=6$이면 방정식이 $x^2=0$이 되어 분모가 $x=0$에서만 0이 된다. 이때 분자도 $x^2$라 극한값이 존재한다.

따라서 총 $8$개.

Tip. 자주 막히는 지점

• 분모 전체를 전개하려고 하면 식이 커진다.
• $f(x)$가 항상 양수라는 사실을 이용해 분모의 영점을 단순화해야 한다.
• “분모가 0이면 안 된다”는 원칙에 $x=0$ 예외가 붙는 점을 놓치기 쉽다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 분모 인수분해
2. 판별식으로 실근 제거
3. $k=6$ 예외 처리
4. 답

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260913m → 2026학년도 9월 모의고사 13번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답