2026학년도 6월 모의고사 미적분 30번 쉬운 풀이 [260630m]

이 문제의 핵심은 로지스틱 함수가 아니라 절댓값의 미분가능성이다. 6월 모의고사 미적분 30번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

$g(x)=\left❘f\left(\frac{2}{1+e^{-x}}\right)\right❘$가 미분가능하고 특정 극소·미분 조건을 만족할 때 $g(0)$의 최솟값을 구하는 문제.

검색 코드: 260630m

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정답

정답: ( 주관식 ) 25

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해설

복잡한 합성함수처럼 보이지만, $t=s(x)$로 바꾸면 $0\lt t\lt2$에서 $|f(t)|$를 보는 문제다.

Step 1. 주요 값 정리

$s(x)=\frac{2}{1+e^{-x}}$로 두자. 그러면 $s$는 실수 전체를 $0\lt t\lt2$로 보내는 증가함수이고, $s'(x)=\frac{s(x)(2-s(x))}{2}$이다.

따라서 $s(-\ln 3)=\frac12$, $s(0)=1$, $s(\ln 3)=\frac32$이고, $s'(-\ln 3)=s'(\ln 3)=\frac38$이다. 이제 $g(x)=|f(s(x))|$는 $0\lt t\lt2$에서 $|f(t)|$를 보는 문제로 바뀐다.

Step 2. 절댓값 미분가능성

$g$가 실수 전체에서 미분가능하려면 $|f(t)|$가 $0\lt t\lt2$에서 미분가능해야 한다. 즉 $f(a)=0$인 내부점에서는 $f'(a)=0$이어야 하므로, $f$는 $0\lt t\lt2$에서 단순근을 가지면 안 된다.

또 $g(0)\gt0$이고 $x=0$에서 극소이므로 $f(1)\ne0$이다. 따라서 $|f(t)|$가 $t=1$에서 양수 높이의 극소를 가지려면 먼저 $f'(1)=0$이어야 한다.

Step 3. $t=1$의 모양 결정

$f$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f'(t)$의 최고차항은 $3t^2$이다. 위에서 $f'(1)=0$이므로

$f'(t)=3(t-1)(t-r)$

로 둘 수 있다.

만약 $f(1)\gt0$이면 $|f|$의 양수 극소를 만들기 위해 $f$는 $t=1$에서 극소여야 한다. 이때는 $r\lt1$이고, $t\gt1$에서 $f'(t)\gt0$이므로 $f(\frac32)\gt0$, $g'(\ln 3)\gt0$이 되어 조건과 모순이다.

따라서 살아남는 경우는 $f(1)\lt0$이고 $f$가 $t=1$에서 극대인 경우다. 그러려면 $r\gt1$이다. 또한 $g'(\ln 3)\lt0$이 되려면 음수인 $f$ 위에서 $f'(\frac32)\gt0$이어야 하므로 $r\lt\frac32$이다.

정리하면

$1\lt r\lt\frac32$

이다.

Step 4. 도함수 설정

$f'(t)=3(t-1)(t-r)$를 적분하면

$f(t)=t^3-\frac32(1+r)t^2+3rt+C$

이다. 특히

$f'\left(\frac12\right)=3\left(-\frac12\right)\left(\frac12-r\right)=\frac{3r}{2}-\frac34\gt0$

이다.

Step 5. $t=\frac12$ 조건으로 상수 결정

조건 $\left|g'(-\ln 3)\right|=\frac38 g(-\ln 3)$에서 $s'(-\ln 3)=\frac38$을 약분하면

$\left|f'\left(\frac12\right)\right|=\left|f\left(\frac12\right)\right|$

이 된다.

여기서 $f(\frac12)\gt0$이라고 하면 $f(1)\lt0$과 중간값정리에 의해 $\frac12\lt t\lt1$ 안에 근이 생긴다. 이 구간에는 $f'$의 영점이 없으므로 그 근은 단순근이다. 따라서 미분가능성 조건과 모순이고, 반드시 $f(\frac12)\lt0$이다.

그러므로 $f'(\frac12)\gt0$, $f(\frac12)\lt0$에서

$f'\left(\frac12\right)=-f\left(\frac12\right)$

이다. 이제

$f\left(\frac12\right)=-\frac14+\frac{9r}{8}+C,\qquad f'\left(\frac12\right)=\frac{3r}{2}-\frac34$

이므로

$\frac{3r}{2}-\frac34=\frac14-\frac{9r}{8}-C$

이고, 따라서

$C=1-\frac{21r}{8}$

이다.

Step 6. 단순근 방지 조건

이제 $t=1$의 값을 계산하면

$f(1)=1-\frac32(1+r)+3r+C=\frac12-\frac{9r}{8}$

이고, 실제로 $r\gt1$에서 음수이다.

왼쪽 구간은 $f'\gt0$이고 $f(\frac12)\lt0$이므로 새 근이 생기지 않는다. 오른쪽에서는 $t=r$ 이후 $f$가 증가하므로, 만약 $f(2)\gt0$이면 $r\lt t\lt2$ 안에 단순근이 생긴다. 따라서 반드시

$f(2)\le0$

이어야 한다. 계산하면

$f(2)=8-6(1+r)+6r+C=3-\frac{21r}{8}$

이므로

$r\ge\frac87$

이다.

Step 7. 최솟값 계산

가능한 범위는

$\frac87\le r\lt\frac32$

이다. 또한

$g(0)=|f(1)|=-f(1)=\frac{9r}{8}-\frac12$

이므로 $r$이 작을수록 $g(0)$도 작다. 최솟값은 $r=\frac87$에서 나온다.

따라서

$g(0)=\frac97-\frac12=\frac{11}{14}$

이고, $p=14$, $q=11$이므로 $p+q=25$이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• $\frac{2}{1+e^{-x}}$를 그대로 두면 복잡하다. 먼저 $t=s(x)$로 바꿔 $0\lt t\lt2$의 문제로 봐야 한다.
• 절댓값 함수가 미분가능하려면 $f$의 단순근이 없어야 한다는 조건을 놓치기 쉽다.
• $g(0)\gt0$이므로 $t=1$은 $f$의 근이 아니다. 즉 $|f|$의 극소는 “0이 되는 극소”가 아니라 “양수 높이를 가진 극소”다.
• $f(1)\lt0$인 경우에는 $f$의 극대가 $|f|$의 극소가 된다는 관점이 필요하다.
• $f(\frac12)\lt0$은 임의 선택이 아니다. 반대로 두면 $\frac12\lt t\lt1$ 안에 단순근이 생긴다.
• 마지막 $f(2)\le0$ 조건은 단순근이 생기지 않게 막는 경계 조건이다. $t=2$는 실제로 도달하지 않는 끝값이라 $f(2)=0$은 허용된다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 주요 값 정리
2. 절댓값 미분가능성
3. $t=1$의 모양 결정
4. 도함수 설정
5. $t=\frac12$ 조건으로 상수 결정
6. 단순근 방지 조건
7. 최솟값 계산

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2026학년도 6월 수학 모의고사 문제 모음

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260630m → 2026학년도 6월 모의고사 30번 미적분

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문제 해설 정답