2026학년도 6월 모의고사 미적분 28번 쉬운 풀이 [260628m]

이 문제의 핵심은 $f$를 정면으로 풀지 않는 것이다. 6월 모의고사 미적분 28번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

$(f(x))^5+(f(x))^3+ax+b=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)$와 부호 조건으로 $ae^b$를 구하는 함수 추론 문제.

검색 코드: 260628m

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정답

정답: ① $-3e^{-\frac{4}{3}}$

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해설

겉보기에는 오차방정식처럼 보이지만, 실제로는 오른쪽 함수가 어디서 충분히 납작하게 0이 되는지 찾는 문제다.

Step 1. $H(f(x))=r(x)$로 묶기

$H(y)=y^5+y^3=y^3(y^2+1)$, $r(x)=\ln\left(x^2+x+\frac{5}{2}\right)-ax-b$라 두자.

그러면 원식은 $H(f(x))=r(x)$이다. 또한 $H'(y)=5y^4+3y^2\ge0$이고, $H(y)$의 부호는 $y$의 부호와 같다.

Step 2. 부호 조건에서 $f(c)=0$ 찾기

$f$는 이계도함수를 가지므로 연속이다. 따라서 $f(-3)f(3)\lt0$에서 중간값정리에 의해 어떤 $c\in(-3,3)$가 존재하여 $f(c)=0$이다.

이때 $H(f(c))=H(0)=0$이므로 $r(c)=0$이다.

Step 3. 이계도함수 조건 해석

$r(x)=H(f(x))$이므로 미분하면

$r'(x)=H'(f(x))f'(x)$,

$r''(x)=H''(f(x))(f'(x))^2+H'(f(x))f''(x)$.

그런데 $H'(0)=0$, $H''(0)=0$이다. 따라서 $f(c)=0$을 대입하면 $r'(c)=0$, $r''(c)=0$까지 따라온다.

즉 $r(c)=r'(c)=r''(c)=0$이어야 한다.

Step 4. $r''(c)=0$으로 후보 찾기

$Q=x^2+x+\frac{5}{2}$라고 쓰면

$r'(x)=\frac{2x+1}{Q}-a$.

한 번 더 미분하면

$r''(x)=\frac{2Q-(2x+1)^2}{Q^2}$

$=\frac{-2x^2-2x+4}{Q^2}=\frac{-2(x+2)(x-1)}{Q^2}$.

$Q\gt0$이므로 $r''(c)=0$에서 $c=-2$ 또는 $c=1$이다.

Step 5. $f'(2)\gt0$으로 후보 선택

$r'(c)=0$이므로 $a=\frac{2c+1}{c^2+c+\frac{5}{2}}$이다.

$c=-2$인 경우 $Q(-2)=\frac{9}{2}$이므로 $a=\frac{-3}{9/2}=-\frac{2}{3}$이다. 이때

$r'(2)=\frac{5}{17/2}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{10}{17}+\frac{2}{3}=\frac{64}{51}\gt0$.

$c=1$인 경우 $Q(1)=\frac{9}{2}$이므로 $a=\frac{3}{9/2}=\frac{2}{3}$이다. 이때

$r'(2)=\frac{10}{17}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{51}\lt0$.

한편 $r'(2)=H'(f(2))f'(2)$이고 $H'(t)\ge0$이다. 조건 $f'(2)\gt0$을 만족하려면 $r'(2)$가 음수일 수 없으므로 $c=1$은 탈락한다. 따라서 $c=-2$이다.

Step 6. $ae^b$ 계산

$c=-2$, $a=-\frac{2}{3}$을 $r(c)=0$에 넣는다.

$\ln\frac{9}{2}-a(-2)-b=0$

이므로

$b=\ln\frac{9}{2}-\frac{4}{3}$.

따라서

$ae^b=-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}e^{-\frac{4}{3}}=-3e^{-\frac{4}{3}}$.

Tip. 자주 막히는 지점

• $f$를 직접 구하려고 하면 식이 너무 무겁다. 먼저 $y^5+y^3$을 하나의 증가함수로 묶어야 한다.
• $f(-3)f(3)\lt0$은 “어딘가에서 $f=0$”이라는 존재 조건이다.
• 왜 $r(c)=0$만으로 부족하고 $r'(c)=r''(c)=0$까지 필요한지 이해하기 어렵다. 이는 $H'(0)=H''(0)=0$이기 때문이다.
• 후보 $c=-2$, $c=1$을 얻은 뒤에는 $f'(2)\gt0$을 $r'(2)=H'(f(2))f'(2)$의 부호로 옮겨서 하나를 걸러야 한다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. $H(f(x))=r(x)$로 묶기
2. 부호 조건에서 $f(c)=0$ 찾기
3. 이계도함수 조건 해석
4. $r''(c)=0$으로 후보 찾기
5. $f'(2)\gt0$으로 후보 선택
6. $ae^b$ 계산

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260628m → 2026학년도 6월 모의고사 28번 미적분

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답