2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 21번 쉬운 풀이 [260921m]

이 문제의 핵심은 “삼차함수를 찾는 문제”가 아니라 “직선 하나를 두 그래프 사이에 끼워 넣는 문제”라고 바꿔 읽는 것이다. 9월 모의고사 수학 21번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

최고차항 계수 1인 삼차함수 $f$가 모든 0이 아닌 실수 $x$에서 부등식을 만족할 때 $f'(10)$을 구하는 문제.

검색 코드: 260921m

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정답

정답: ( 주관식 ) 296

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해설

21번답게 무거워 보이지만, 정리하면 직선 하나가 갇히는 문제다.

Step 1. 삼차함수를 일반형으로 두기

$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$로 둔다.

그러면

$$(f(2x)-f(0))/(2x)=4x^2+2ax+b$$

이고

$$f'(x)/2+x^2-2=(3x^2+2ax+b)/2+x^2-2$$

Step 2. 조건을 $2ax+b$에 대한 부등식으로 바꾸기

왼쪽 부등식을 정리하면

$$2ax+b \ge -3x^2-4$$

오른쪽 부등식은

$$2ax+b \le x^4-4x^2$$

따라서 직선 $y=2ax+b$가 모든 $x\ne 0$에서

Step 3. 두 그래프의 접점 같은 값을 보기

$y=-3x^2-4$와 $y=x^4-4x^2$

사이에 끼어 있어야 한다.

여기서 결정적인 관찰:

• 아래 그래프 $-3x^2-4$의 최댓값은 $x=0$에서 $-4$
• 위 그래프 $x^4-4x^2$의 최솟값은 $x=\pm\sqrt{2}$에서 $-4$

직선이 아래 그래프보다 항상 위에 있으려면 $b\ge -4$.

Step 4. 직선 확정

그런데 위 그래프보다 항상 아래에 있으려면 $x=\pm\sqrt{2}$에서

$b+2\sqrt{2} a\le -4$, $b-2\sqrt{2} a\le -4$.

결국 $b\ge -4$와 동시에 두 부등식을 만족해야 하므로 $a=0$, $b=-4$.

따라서

$f'(x)=3x^2-4$, $f'(10)=296$.

Tip. 자주 막히는 지점

• 부등식 전체를 삼차함수 계수 비교로만 밀어붙이려 하면 식이 길어 보인다.
• 가운데 항을 계산한 뒤 $2ax+b$라는 직선 하나로 정리되는 순간을 잡아야 한다.
• “모든 실수에서 성립”은 보통 그래프가 위아래 함수 사이에 갇힌다는 뜻인데, 이 해석을 못 하면 어렵다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. 삼차함수를 일반형으로 두기
2. 조건을 $2ax+b$에 대한 부등식으로 바꾸기
3. 두 그래프의 접점 같은 값을 보기
4. 직선 확정

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260921m → 2026학년도 9월 모의고사 21번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답