2026학년도 6월 모의고사 미적분 29번 쉬운 풀이 [260629m]

이 문제는 “삼각함수 수열”이 아니라 “4칸짜리 반복표” 문제로 바꾸면 쉬워진다. 6월 모의고사 미적분 29번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

정수 $\alpha, \beta$로 정의된 4주기 수열과 등비수열의 두 무한급수 조건을 이용하여 $b_1 b_3$를 구하는 문제.

검색 코드: 260629m

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정답

정답: ( 주관식 ) 109

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해설

삼각함수 수열처럼 보이지만, 먼저 네 항만 써 보면 4주기 수열이다.

Step 1. $a_n$의 반복표 만들기

문제의 수열은

$$a_n=\alpha\sin\frac{n\pi}{2}+\beta\cos\frac{n\pi}{2}$$

이다. $\sin\frac{n\pi}{2}$, $\cos\frac{n\pi}{2}$는 네 칸마다 반복되므로 첫 네 항만 쓰면 된다.

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$
$a_n$	$\alpha$	$-\beta$	$-\alpha$	$\beta$

따라서 반복표는 $\alpha, -\beta, -\alpha, \beta$이고, 네 항의 곱은

$$a_1a_2a_3a_4=\alpha(-\beta)(-\alpha)\beta=\alpha^2\beta^2=4$$

이다.

Step 2. $\alpha$, $\beta$ 후보 줄이기

$\alpha^2\beta^2=4$이므로 $|\alpha\beta|=2$이다. $\alpha$, $\beta$가 정수이고 $\alpha>\beta$이므로 가능한 후보만 추리면

$$(\alpha,\beta)=(2,1),\;(-1,-2),\;(1,-2),\;(2,-1)$$

네 쌍이다.

Step 3. 급수 식 세우기

등비수열의 첫째항을 $c=b_1$이라 하고 공비를 $r$이라 두자. 문제에서 $b_1>0$이므로 $c>0$이고, 무한급수가 수렴해야 하므로 $|r|<1$이다.

반복표에서 $4n-2$번째 항은 항상 두 번째 칸, $4n-3$번째 항은 항상 첫 번째 칸이다.

$$a_{4n-2}=-\beta,\qquad a_{4n-3}=\alpha$$

또 $b_n=cr^{n-1}$, $b_{2n}=cr^{2n-1}=cr(r^2)^{n-1}$이므로 두 급수 조건은

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-2}b_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-\beta)cr^{n-1}=\frac{-\beta c}{1-r}=6$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{4n-3}b_{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha cr(r^2)^{n-1}=\frac{\alpha cr}{1-r^2}=6$$

으로 정리된다.

Step 4. 두 식을 나누어 공비 구하기

두 식의 오른쪽이 모두 $6$이므로 서로 나누면 $c$가 사라진다.

$$\frac{\frac{\alpha cr}{1-r^2}}{\frac{-\beta c}{1-r}}=1$$

$$-\frac{\alpha r(1-r)}{\beta(1-r^2)}=1$$

$1-r^2=(1-r)(1+r)$이므로

$$-\frac{\alpha r}{\beta(1+r)}=1$$

이다. 양변을 정리하면

$$-\alpha r=\beta(1+r)$$

$$-(\alpha+\beta)r=\beta$$

따라서

$$r=-\frac{\beta}{\alpha+\beta}$$

이다.

Step 5. 후보 검사

이제 네 후보에 $r=-\frac{\beta}{\alpha+\beta}$를 넣고, $|r|<1$과 $c=b_1>0$을 같이 확인한다.

$(\alpha,\beta)$	$r$	판정
$(2,1)$	$-\frac{1}{3}$	첫 식에서 $c=-8$이므로 탈락
$(-1,-2)$	$-\frac{2}{3}$	첫 식에서 $c=5$이므로 가능
$(1,-2)$	$-2$	$|r|<1$이 아니므로 탈락
$(2,-1)$	$1$	무한급수가 수렴하지 않으므로 탈락

따라서 가능한 경우는

$$\alpha=-1,\qquad \beta=-2,\qquad r=-\frac{2}{3}$$

뿐이다. 첫 번째 급수 식에 넣으면

$$\frac{2c}{1+\frac{2}{3}}=6$$

$$\frac{6c}{5}=6$$

이므로 $c=5$이다. 즉 $b_1=5$이다.

Step 6. 답 계산

$b_3=cr^2$이므로

$$b_3=5\left(-\frac{2}{3}\right)^2=\frac{20}{9}$$

이다. 따라서

$$b_1b_3=5\cdot\frac{20}{9}=\frac{100}{9}$$

문제에서 $\frac{q}{p}$의 $p+q$를 묻는 형태이므로 $p=9$, $q=100$이다.

따라서 정답은

$$p+q=109$$

이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• 삼각함수로 정의된 수열을 복잡하게 보지만, 실제로는 4주기 정수 수열이다.
• 두 급수의 인덱스 $4n-2$, $4n-3$, $2n$을 정리하지 않으면 식이 흐트러진다.
• $b_{2n}$은 첫 항이 $cr$이고 공비가 $r^2$인 등비급수이다.
• $\alpha$, $\beta$ 후보를 처음부터 무한히 생각할 필요가 없다. $\alpha^2\beta^2=4$이므로 네 쌍만 남는다.
• 공비 $r$을 얻은 뒤에도 $|r|<1$, $b_1>0$을 후보별로 확인해야 한다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. $a_n$의 반복표 만들기
2. $\alpha$, $\beta$ 후보 줄이기
3. 급수 식 세우기
4. 두 식을 나누어 공비 구하기
5. 후보 검사
6. 답 계산

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2026학년도 6월 수학 모의고사 문제 모음

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260629m → 2026학년도 6월 모의고사 29번 미적분

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

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