2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 15번 쉬운 풀이 [260915m]

이 문제는 절댓값 적분 문제가 아니라, 삼차함수와 두 직선 $y=x$, $y=-x$의 교점 개수 문제다. 9월 모의고사 수학 15번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

$g(x)=\int_0^x(❘f(t)❘-❘t❘)\,dt$에서 $g'(x)=0$의 실근 개수와 $x=2,6$ 극값 조건으로 삼차함수 $f$를 정해 $f(8)$을 구하는 문제.

검색 코드: 260915m

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정답

정답: ⑤ 40

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해설

절댓값과 적분이 같이 있어도, 먼저 해야 할 일은 미분이다.

Step 1. $g'$로 바꾸기

$g(x)=\int_0^x(|f(t)|-|t|)\,dt$이므로

$$g'(x)=|f(x)|-|x|$$

따라서 $g'(x)=0$은

$$|f(x)|=|x|$$

즉

$f(x)=x$ 또는 $f(x)=-x$

와 같다.

Step 2. 2와 6은 교점이다

조건 (나)에서 $g$가 $x=2$, $x=6$에서 극값을 가지므로

$g'(2)=0$, $g'(6)=0$.

따라서

$f(2)=\pm2$, $f(6)=\pm6$.

또 $f(0)=0$이므로 $x=0$도 $g'(x)=0$의 해이다. 조건 (가)는 이런 해가 서로 다른 4개뿐이라고 말한다.

케이스를 깔끔하게 보려면

Step 3. $q(x)=\frac{f(x)}{x}$로 교점 세기

$$q(x)=\frac{f(x)}{x}$$

로 보는 것이 좋다. $f(0)=0$이므로 $q$는 이차식으로 생각할 수 있고, $f$의 최고차항 계수가 양수이므로 $q$는 위로 열린 포물선이다.

$x\ne 0$에서 $g'(x)=0$은

$q(x)=1$ 또는 $q(x)=-1$

과 같다. 즉 위로 열린 포물선 $q$가 두 수평선 $y=1$, $y=-1$과 만나는 점을 세는 문제다.

조건 (가)에 의해 $x=0$을 제외하고는 교점이 정확히 3개여야 한다. 또 $x=2$, $x=6$은 그 교점 중 두 개다.

가능한 배치를 비교하면 다음과 같다.

Step 4. 가능한 배치 선택

• $q(2)=q(6)=1$이면 $q=-1$은 꼭짓점에서 한 번만 만나야 한다. 이 경우 $q=1+\frac{1}{2}(x-2)(x-6)$이고 $g(2)>0$, $f(6)>0$이라서 $f(6)g(2)<0$에 어긋난다.
• $q(2)=q(6)=-1$이면 교점 개수를 맞추려면 $q(0)=1$이어야 한다. 이 경우에도 $g(2)<0$, $f(6)<0$이라서 곱이 양수가 된다.
• $q(2)=1$, $q(6)=-1$이면 교점 개수를 맞추려면 $q(0)=1$ 또는 $q(0)=-1$이어야 한다. 그런데 각각의 경우 $q-1$ 또는 $q+1$의 최고차항 계수가 음수가 되어 $f$의 최고차항 계수가 양수라는 조건과 충돌한다.
• $q(2)=-1$, $q(6)=1$에서는 두 가지가 가능하다. $q(0)=-1$이면 $g(2)>0$, $f(6)>0$이라서 탈락한다. $q(0)=1$이면 $g(2)<0$, $f(6)>0$이 되어 조건을 만족한다.

따라서 $q(x)-1$은 $x=0$, $x=6$에서 0이 되고,

$$q(2)=-1$$

이다. 그러므로

$$q(x)-1=t x(x-6)$$

$q(2)=-1$을 대입하면

Step 5. 계산

$$-2=t\cdot 2\cdot (-4)$$

에서 $t=\frac{1}{4}$.

따라서

$q(x)=1+\frac{1}{4}x(x-6)$,

$$f(x)=xq(x)=x+\frac{1}{4}x^2(x-6)$$

이 함수에서는 $0<x<2$에서 $-1<q(x)<1$이므로 $g(2)<0$, 그리고 $f(6)=6>0$이다. 따라서 $f(6)g(2)<0$도 만족한다.

$$f(8)=8+(1/4)\cdot 64\cdot 2=40$$

Tip. 자주 막히는 지점

• 적분 함수 $g$를 직접 적분하려고 하면 시작이 무겁다. 먼저 미분해서 $g'$를 봐야 한다.
• $|f(x)|=|x|$를 $f=x$ 또는 $f=-x$의 교점 문제로 바꾸는 것이 핵심이다.
• $g'(x)=0$의 해가 4개뿐이라는 말은 “두 직선 $y=x$, $y=-x$와의 교점이 총 4개뿐”이라는 그래프 조건이다.
• 왜 $x=0$에서 접해야 하는지 납득시키는 설명이 중요하다. 추가 교점이 생기지 않게 막는 경계가 접점이다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. $g'$로 바꾸기
2. 2와 6은 교점이다
3. $q(x)=\frac{f(x)}{x}$로 교점 세기
4. 가능한 배치 선택
5. 계산

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260915m → 2026학년도 9월 모의고사 15번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답