이 문제는 “빈칸을 채우는 문제”처럼 보이지만 실제 핵심은 P에서 나간 두 직선의 닮음이다. 9월 모의고사 수학 20번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

문제

20. 그림과 같이 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가 한 원에 내접하고 \[ \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{CD}}=1:3,\qquad \overline{\mathrm{BC}}<\overline{\mathrm{AD}} \] 일 때, 직선 \(\mathrm{AB}\)와 직선 \(\mathrm{CD}\)가 만나는 점을 \(\mathrm{P}\)라 하자. 다음은 \[ \overline{\mathrm{PB}}:\overline{\mathrm{PC}}:\overline{\mathrm{BC}}=7:5:\sqrt{14} \] 이고 \[ \overline{\mathrm{AD}}=4\sqrt{13} \] 일 때, 삼각형 \(\mathrm{BPC}\)의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다. \[ \begin{array}{l} \angle \mathrm{BPC}=\theta \text{라 할 때, } \overline{\mathrm{PB}}:\overline{\mathrm{PC}}:\overline{\mathrm{BC}}=7:5:\sqrt{14} \text{이므로} \\[6pt] \text{삼각형 } \mathrm{BPC}\text{에서 코사인법칙에 의하여 } \cos\theta=\dfrac{6}{7}\text{이다.} \\[12pt] \overline{\mathrm{PB}}:\overline{\mathrm{PC}}=7:5\text{에서 } \overline{\mathrm{PB}}=7k,\quad \overline{\mathrm{PC}}=5k, \\[6pt] \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{CD}}=1:3\text{에서 } \overline{\mathrm{AB}}=l,\quad \overline{\mathrm{CD}}=3l\text{이라 하자.} \\[12pt] \text{원의 성질에 의하여} \\[6pt] \text{삼각형 } \mathrm{BPC}\text{와 삼각형 } \mathrm{DPA}\text{가 서로 닮음이므로} \\[6pt] \overline{\mathrm{PB}}:\overline{\mathrm{PC}} = \overline{\mathrm{PD}}:\overline{\mathrm{PA}} \text{이고, } l=\boxed{\text{(가)}}\times k\text{이다.} \\[12pt] \text{삼각형 } \mathrm{BPC}\text{와 삼각형 } \mathrm{DPA}\text{의 닮음비가 } 1:\boxed{\text{(나)}}\text{이므로} \\[6pt] \overline{\mathrm{BC}} = \dfrac{1}{\boxed{\text{(나)}}}\times \overline{\mathrm{AD}} \text{이다.} \\[12pt] \text{따라서 삼각형 } \mathrm{BPC}\text{의 외접원의 반지름의 길이를 }R\text{이라 할 때,} \\[6pt] \text{삼각형 } \mathrm{BPC}\text{에서 사인법칙에 의하여 } R=\boxed{\text{(다)}}\text{이다.} \end{array} \] 위의 \(\text{(가)},\ \text{(나)},\ \text{(다)}\)에 알맞은 수를 각각 \(p,\ q,\ r\)이라 할 때, \(p+q+r\)의 값을 구하시오. \([4점]\)
원에 내접한 사각형과 닮음, 코사인법칙, 사인법칙을 이용하여 빈칸 $p+q+r$을 구하는 문제.

검색 코드: 260920m

정답

정답: ( 주관식 ) 12

해설

빈칸을 따라가기 전에 전체 그림을 P 기준 두 삼각형으로 나눠야 한다.

Step 1. BPC에서 $\cos\theta$ 구하기

$PB:PC:BC=7:5:\sqrt{14}$이므로

$PB=7t$, $PC=5t$, $BC=\sqrt{14} t$로 둔다.

삼각형 BPC에서 코사인법칙:

$$\cos\angle BPC=(PB^2+PC^2-BC^2)/(2PB\cdot PC)$$

$$=(49+25-14)/(70)=6/7$$

따라서 문제의 첫 빈칸 흐름과 일치한다.

이제 $AB=l$, $CD=3l$로 두자. 직선 AB와 CD가 P에서 만나므로

Step 2. 닮음으로 l 구하기

$PA=PB+AB=7t+l$, $PD=PC+CD=5t+3l$.

원에 내접한 사각형에서 두 secant 구조로 삼각형 $BPC$와 $DPA$가 닮음이고,

$$PB:PC=PD:PA$$

따라서

$$7/5=(5t+3l)/(7t+l)$$

정리하면

$49t+7l=25t+15l$, 즉 $l=3t$.

2026학년도 9월 모의고사 수학 20번 해설용 인포그래픽
2026학년도 9월 모의고사 수학 20번 해설용 인포그래픽

Step 3. 닮음비

그래서 $(가)=3$.

이때

$PD=5t+9t=14t$, $PB=7t$이므로 닮음비는 $BPC:DPA=1:2$.

따라서 $(나)=2$.

문제에서 $AD=4\sqrt{13}$이고 닮음비가 $1:2$이므로

$$BC=AD/2=2\sqrt{13}$$

Step 4. 사인법칙

삼각형 BPC의 외접반지름은

$$R=BC/(2\sin\angle BPC)$$

$\cos\theta=6/7$이므로 $\sin\theta=\sqrt{13}/7$.

따라서

$$R=2\sqrt{13}/(2\sqrt{13}/7)=7$$

$$(다)=7$$

최종 $p+q+r=3+2+7=12$.

Tip. 자주 막히는 지점

  • 빈칸 문제라 계산 흐름을 따라가다 보면 전체 구조를 놓치기 쉽다.
  • 닮음비가 어디서 나오는지, 특히 $PA=PB+AB$, $PD=PC+CD$를 놓치면 (가)를 구하기 어렵다.
  • 마지막 외접반지름은 사인법칙 $BC=2R \sin\theta$로 바로 끝난다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

  1. BPC에서 $\cos\theta$ 구하기
  2. 닮음으로 l 구하기
  3. 닮음비
  4. 사인법칙

문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260920m → 2026학년도 9월 모의고사 20번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

저작자표시 비영리 (새창열림)

'모의고사·수능 > 수학 2026학년도' 카테고리의 다른 글

2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 22번 쉬운 풀이 [260922m]  (1) 2026.05.05
2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 15번 쉬운 풀이 [260915m]  (0) 2026.05.05
2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 14번 쉬운 풀이 [260914m]  (0) 2026.05.05
2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 21번 쉬운 풀이 [260921m]  (0) 2026.05.05
2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [260913m]  (0) 2026.05.05