2026학년도 9월 고3 모의고사 수학 22번 쉬운 풀이 [260922m]

이 문제는 로그 그래프보다 9월 모의고사 수학 22번은 계산을 시작하기 전에 관점을 먼저 잡으면 훨씬 짧게 풀린다.

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문제

$y=\log_2 x$ 위의 두 점 A, B와 대칭·수선 조건을 좌표화하여 사각형 APQB의 넓이를 구하는 문제.

검색 코드: 260922m

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정답

정답: ( 주관식 ) 73

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해설

P와 Q를 바로 구하지 말자. 먼저 AP와 BQ의 y절편만 보자.

Step 1. A, B 좌표 잡기

$A=(a, \log_2 a)$, $B=(b, \log_2 b)$로 둔다.

점 A에서 $y=x$에 내린 수선 AP는 기울기 $-1$이고, 직선 AP의 y절편은

$$a+\log_2 a$$

점 B를 $y=x$에 대칭이동한 점 Q는 $(\log_2 b, b)$이고, 직선 BQ도 기울기 $-1$이다. y절편은

$$b+\log_2 b$$

조건 (가):

Step 2. 조건을 $a-b$, $\frac{a}{b}$로 바꾸기

$$(a+\log_2 a)-(b+\log_2 b)=\frac{13}{2}$$

조건 (나), 직선 AB의 기울기:

$$\frac{\log_2 a-\log_2 b}{a-b}=\frac{6}{7}$$

$d=a-b$라 두면

$$\log_2\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{6d}{7}$$

Step 3. 네 점 좌표 구하기

이를 (가)에 넣으면

$d+\frac{6d}{7}=\frac{13}{2}$, 즉 $d=\frac{7}{2}$.

따라서

$\log_2\left(\frac{a}{b}\right)=3$, 즉 $\frac{a}{b}=8$.

$a-b=\frac{7}{2}$와 함께 풀면

Step 4. 넓이

$b=\frac{1}{2}$, $a=4$.

그래서

• $A=(4,2)$
• $B=\left(\frac{1}{2},-1\right)$
• $P$는 A를 $y=x$에 정사영한 점이므로 $P=(3,3)$
• $Q$는 B의 대칭점이므로 $Q=\left(-1,\frac{1}{2}\right)$

사각형 $APQB$의 넓이를 좌표로 계산하면

$$[APQB]=\frac{1}{2}\left|4\cdot3+3\cdot\frac{1}{2}+(-1)\cdot(-1)+\frac{1}{2}\cdot2-\left(2\cdot3+3\cdot(-1)+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+(-1)\cdot4\right)\right|$$

$$=\frac{1}{2}\left|\frac{31}{2}-\left(-\frac{3}{4}\right)\right|=\frac{65}{8}$$

따라서 $p=8$, $q=65$, $p+q=73$.

Tip. 자주 막히는 지점

• 수선의 발 P를 먼저 구하려고 하면 식이 길어진다. 사실 y절편 조건은 P 없이도 나온다.
• $AP$, $BQ$가 모두 기울기 $-1$인 직선이라는 점이 핵심이다.
• 마지막 넓이는 도형적으로 나누기보다 좌표를 구한 뒤 신발끈 공식이 가장 빠르다.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. A, B 좌표 잡기
2. 조건을 $a-b$, $\frac{a}{b}$로 바꾸기
3. 네 점 좌표 구하기
4. 넓이

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260922m → 2026학년도 9월 모의고사 22번 수학

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제 해설 정답