2026학년도 6월 모의고사 수학 22번 쉬운 풀이 [260622m]

이 문제는 교점을 전부 복잡하게 구하는 문제가 아니라, A에서 B로 이동하는 양을 잡은 뒤 삼각형 넓이를 직선까지의 거리로 바꾸는 문제다.

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문제

두 지수함수 그래프의 교점 A와 평행이동된 지수함수 위의 점 B를 이용하여 삼각형 넓이 조건에서 $k+\log_2 k$를 구하는 문제.

검색 코드: 260622m

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정답

정답: ( 주관식 ) 38

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해설

22번답게 식은 무거워 보이지만, A와 B의 관계만 잡으면 넓이 공식 한 번으로 끝난다.

Step 1. A의 좌표

처음 두 그래프의 교점을 A라고 하자. $t=2^x$로 두면 $t>0$이고, 교점 조건은

$t+\frac{k}{2}=\frac{k}{t}+k-2$

이다. 양변에 $2t$를 곱하면

$2t^2+(4-k)t-2k=0$

이고, 인수분해하면

$(2t-k)(t+2)=0$

이다. $t>0$이므로 $t=-2$는 버리고, $t=\frac{k}{2}$만 가능하다.

따라서 $2^x=\frac{k}{2}$, 즉 $x=\log_2 k-1$이고, 이때 $y=k$이다.

그래서 $A=(\log_2 k-1,\ k)$로 정리된다.

Step 2. B의 좌표

A를 지나고 기울기가 $-1$인 직선은

$y-k=-(x-(\log_2 k-1))$

이므로

$x+y=k+\log_2 k-1$

이다.

이 직선 위에서 A로부터 오른쪽으로 $d$만큼 움직이면, 기울기가 $-1$이므로 아래로도 $d$만큼 내려간다. 따라서 직선 위의 점은

$(\log_2 k-1+d,\ k-d)$

로 쓸 수 있다.

이 점이 $y=2^{x-2}-3$ 위에 있으려면

$k-d=2^{\log_2 k-1+d-2}-3$

이어야 한다. 오른쪽을 정리하면

$2^{\log_2 k+d-3}-3=k2^{d-3}-3$

이므로 교점 조건은

$k-d=k2^{d-3}-3$

이다. 여기서 $d=3$을 넣으면 양변이 모두 $k-3$이 되어 성립한다.

이제 다른 교점이 남는지를 공통 범위에서 확인하자. 직선 $AB$는 기울기가 $-1$이므로 $x$가 커질수록 $y$가 작아지는 감소 직선이다.

반면 $y=2^{x-2}-3$은 $x$가 커질수록 $y$가 커지는 지수함수다. 감소하는 그래프와 증가하는 그래프는 두 번 만날 수 없으므로 교점은 하나뿐이다.

따라서 위에서 확인한 $d=3$이 유일한 이동량이고,

$B=(\log_2 k+2,\ k-3)$

이다.

번외로, 미적분을 사용하면 같은 유일성을 더 짧게 확인할 수도 있다. $F(d)=k(2^{d-3}-1)+d-3$이라 두면 교점 조건은 $F(d)=0$이고,

$F'(d)=k(\ln 2)2^{d-3}+1>0$

이므로 $F$가 계속 증가한다. 다만 이 계산은 자연로그와 지수함수 미분을 쓰므로, 공통 문제의 메인 풀이에서는 위의 증가·감소 관찰만으로 충분하다.

Step 3. 삼각형 넓이를 거리로 바꾸기

A에서 B로 갈 때 $x$는 $3$ 증가하고 $y$는 $3$ 감소한다. 따라서

$AB=\sqrt{3^2+(-3)^2}=3\sqrt{2}$

이다.

삼각형 $AOB$의 밑변을 $AB$로 잡으면, 높이는 원점 O에서 직선 $AB$까지의 거리다. 이 높이를 $h$라고 하면 넓이 조건에서

$16=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{2}\cdot h$

이므로

$h=\frac{32}{3\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$

이다.

Step 4. 거리 공식으로 마무리

직선 $AB$는

$x+y=k+\log_2 k-1$

이므로 표준형으로 쓰면

$x+y-(k+\log_2 k-1)=0$

이다. 원점에서 이 직선까지의 거리는

$\frac{|k+\log_2 k-1|}{\sqrt{2}}$

이다. 문제 조건에서 $k>1$이므로 $k+\log_2 k-1>0$이고, 절댓값을 벗기면

$h=\frac{k+\log_2 k-1}{\sqrt{2}}$

이다.

Step 3에서 구한 높이와 같게 놓으면

$\frac{k+\log_2 k-1}{\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}}{3}$

이고, 양변에 $\sqrt{2}$를 곱해

$k+\log_2 k-1=\frac{32}{3}$

따라서

$k+\log_2 k=\frac{35}{3}$

이다. 문제에서 $k+\log_2 k=\frac{q}{p}$이고 $p$, $q$가 서로소인 자연수이므로 $p=3$, $q=35$이다.

따라서 답은 $p+q=38$이다.

Tip. 자주 막히는 지점

• A의 교점을 직접 복잡하게 풀려고 하면 시간이 오래 걸린다.
• B는 직선과 지수함수를 무작정 다시 연립하기보다, A에서 기울기 $-1$ 방향으로 이동량 $d$를 두고 $d=3$을 확인하는 편이 빠르다.
• $d=3$을 대입만 하고 끝내면 다른 교점이 신경 쓰일 수 있다. 공통 풀이에서는 감소 직선과 증가 지수함수가 두 번 만날 수 없다는 점으로 유일성을 확인하면 된다.
• $F'(d)>0$ 확인은 미적분을 배운 뒤에 볼 수 있는 번외 검산이다.
• 넓이 조건을 좌표 행렬식으로 밀어붙일 수도 있지만, $AB$를 밑변으로 잡고 원점-직선 거리로 처리하는 편이 훨씬 설명이 쉽다.
• 마지막의 $p$, $q$와 B를 찾을 때 둔 이동량 $d$를 섞지 말자.

요약. 시험장에서 이렇게 정리한다

1. $t=2^x$로 두고 $A=(\log_2 k-1,\ k)$를 구한다.
2. A에서 기울기 $-1$ 방향 이동량을 $d$로 두고, $d=3$을 찾은 뒤 증가·감소로 유일성을 확인한다.
3. $AB=3\sqrt{2}$, 넓이 $16$에서 높이 $h=\frac{16\sqrt{2}}{3}$을 얻는다.
4. 직선 $x+y=k+\log_2 k-1$까지의 거리와 높이를 같게 놓아 $k+\log_2 k=\frac{35}{3}$을 구한다.
5. 따라서 $p+q=3+35=38$이다.

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색해 주세요. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻입니다.

예: 260622m → 2026학년도 6월 모의고사 22번 수학

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문제 해설 정답