2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 13번 쉬운 풀이 [270613m]

이 문제는 두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$를 각각 구하는 문제가 아니다. 먼저 두 곡선 사이의 높이 $f(x)-g(x)$를 하나의 함수로 묶고, 넓이 함수의 도함수가 그 높이를 뜻한다는 점을 읽는 문제이다.

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문제

두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$ 사이의 넓이 함수 $S(t)$가 주어졌을 때, 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 참거짓을 판단하는 문제이다.

검색 코드: 270613m

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정답

정답: ⑤

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해설

1. 두 곡선 사이의 높이로 바꾸기

처음에는 $f(x)$와 $g(x)$를 따로 보지 말고, 두 곡선 사이의 간격을 하나의 함수로 묶어 본다. 문제에서 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$라고 했으므로, 두 곡선 사이의 세로 길이는 항상 $h(x)=f(x)-g(x)>0$이다.

그러면 $x=0$부터 $x=t$까지의 넓이는 $S(t)=\int_0^t h(x)\,dx$이고, 따라서 $S'(t)=h(t)$이다.

문제에서 $S'(t)=t^2-2t+a$라고 했으므로, 양수 $t$에 대해 $h(t)=t^2-2t+a$이다. $h$는 다항함수이므로 이 식은 항등식으로 보아 $h(x)=x^2-2x+a$이다.

2. ㄱ과 ㄴ 판단

이제 $f(1)=g(1)+1$을 간격 함수로 바꾸면 $h(1)=1$이다. 따라서 $1-2+a=1$이므로 $a=2$이다. ㄱ의 $a=1$은 거짓이다.

ㄴ은 이 높이 함수를 그대로 적분하면 된다. $h(x)=x^2-2x+2$이므로 $S(3)=\int_0^3 (x^2-2x+2)\,dx=\left[\frac13x^3-x^2+2x\right]_0^3=6$이다. 따라서 ㄴ은 참이다.

3. ㄷ은 대칭으로 보기

ㄷ은 계산보다 대칭을 먼저 보면 빠르다. $h(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$이므로 그래프의 대칭축은 $x=1$이다. 대칭축이 $x=1$이라는 말은 $x=1$에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점의 높이가 같다는 뜻이다. 즉 $h(1+r)=h(1-r)$이다. 구간 $[0,4]$의 각 점 $x$를 대칭축의 맞은편 점 $2-x$로 보내면 $x=0$은 $2$로, $x=4$는 $-2$로 간다. 그래서 $[0,4]$ 전체가 $[-2,2]$와 대응된다.

실제로 $h(2-x)=h(x)$이므로 $\int_0^4 h(x)\,dx=\int_{-2}^2 h(x)\,dx$이다. 같은 높이들을 순서만 바꾸어 더하는 것이어서 두 넓이는 같다. 따라서 ㄷ도 참이다. 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤이다.

4. 시험장용 경로

1. $f>g$ 확인: 두 곡선 사이의 높이 $h=f-g$를 둔다.
2. 넓이 미분: $S(t)=\int_0^t h(x)\,dx$에서 $S'(t)=h(t)$를 잡는다.
3. 특수값 사용: $h(1)=1$로 $a=2$를 구한다.
4. 대칭 확인: $h(x)=(x-1)^2+1$의 대칭축 $x=1$로 ㄷ을 판단한다.

5. 오답 차단

• ㄱ: $S'(1)$을 대입할 때 $f(1)-g(1)=1$을 놓치면 안 된다.
• ㄷ: 원래 $S(t)$는 양수 $t$에 대한 넓이 함수이다. $S(-2)$ 같은 값을 새로 정의하기보다, 두 곡선 사이 넓이를 $\int_{-2}^2 h(x)\,dx$로 직접 읽는 편이 안전하다.

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색하면 된다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270613m → 2027학년도 6월 모의고사 13번 수학

오류가 있으면 댓글로 알려주면 수정하겠다.

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