2027학년도 6월 고3 모의고사 확률과 통계 28번 쉬운 풀이 [270628pm]

2027학년도 6월 고3 모의고사 확률과 통계 28번 쉬운 풀이 [270628m]

이 문제는 네 번의 주사위 결과를 처음부터 모두 나열하는 문제가 아니다. 먼저 한 번의 시행이 어떤 카드를 뒤집는지 표로 정리하고, 마지막 조건을 뒤집힌 횟수의 홀짝 조건으로 바꾸는 것이 핵심이다.

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문제

앞면에 숫자 $ 1,2,3,4,5,6 $이 하나씩 적혀 있는 카드 $ 6 $장이 있다. 각 카드의 뒷면에는 앞면에 적힌 숫자와 같은 숫자가 적혀 있다. 처음에 숫자 $ 1,6 $이 적힌 카드는 뒷면이 보이도록 놓여 있고, 숫자 $ 2,3,4,5 $가 적힌 카드는 앞면이 보이도록 놓여 있다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $ k $일 때, $ k $가 홀수이면 $ k $ 이하의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집고, $ k $가 짝수이면 $ k $ 이상의 수가 적힌 카드를 모두 한 번씩 뒤집는다. 이 시행을 $ 4 $번 반복한 후 $ 6 $장의 카드가 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률을 구하는 문제이다.

선택지: ① $ \dfrac{19}{162} $ ② $ \dfrac{13}{108} $ ③ $ \dfrac{10}{81} $ ④ $ \dfrac{41}{324} $ ⑤ $ \dfrac{7}{54} $

검색 코드: 270628m

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정답

정답: ③

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해설

1. 먼저 한 번 시행을 표로 바꾼다

네 번의 시행을 바로 세면 전체 결과가 $ 6^4 $개이다. 그래서 처음 손동작은 네 번의 결과 나열이 아니라, 주사위 눈 하나가 어떤 카드를 뒤집는지 정리하는 것이다.

표를 만들면 카드 상태는 앞면과 뒷면 두 가지뿐이라는 점이 보인다. 한 카드는 짝수 번 뒤집히면 처음 상태로 돌아오고, 홀수 번 뒤집히면 처음 상태와 반대가 된다. 따라서 처음에 뒷면인 카드 $ 1,6 $은 홀수 번 뒤집혀야 하고, 처음에 앞면인 카드 $ 2,3,4,5 $는 짝수 번 뒤집혀야 한다.

2. 카드별 홀짝 조건을 식으로 쓴다

주사위 눈 $ i $가 네 번의 시행 동안 나온 횟수를 $ n_i $로 둔다. 카드별로 뒤집히는 주사위 눈을 읽으면 다음 네 조건을 얻는다.

$$ \begin{aligned} n_1 + n_3 + n_5 &\equiv 1 \pmod{2},\\ n_2 + n_3 + n_5 &\equiv 0 \pmod{2},\\ n_2 + n_4 + n_5 &\equiv 0 \pmod{2},\\ n_2 + n_4 + n_6 &\equiv 1 \pmod{2}. \end{aligned} $$

첫 번째 식은 카드 $ 1 $이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다. 두 번째 식은 카드 $ 2,3 $이 짝수 번 뒤집힌다는 조건이고, 세 번째 식은 카드 $ 4,5 $가 짝수 번 뒤집힌다는 조건이다. 네 번째 식은 카드 $ 6 $이 홀수 번 뒤집힌다는 조건이다.

3. 계산 전에 조건을 압축한다

이제 식을 그대로 들고 가기보다 먼저 짧게 줄인다. $ \pmod{2} $에서는 같은 항이 두 번 나타나면 짝수 번 나온 것이므로 사라진다.

첫 번째 식과 두 번째 식을 더하면 $ n_1 + n_2 \equiv 1 \pmod{2} $이다. 두 번째 식과 세 번째 식을 더하면 $ n_3 + n_4 \equiv 0 \pmod{2} $이다. 세 번째 식과 네 번째 식을 더하면 $ n_5 + n_6 \equiv 1 \pmod{2} $이다. 여기에 원래 조건 중 하나인 $ n_2 + n_3 + n_5 \equiv 0 \pmod{2} $도 함께 남긴다.

4. 가능한 홀짝 패턴을 분류한다

$ p_i $를 $ n_i $의 홀짝으로 둔다. 즉 $ p_i \in \{ 0,1 \} $이고 $ p_i \equiv n_i \pmod{2} $이다. 압축된 조건은 다음과 같다.

$$ \begin{aligned} p_1 + p_2 &\equiv 1 \pmod{2},\\ p_3 + p_4 &\equiv 0 \pmod{2},\\ p_5 + p_6 &\equiv 1 \pmod{2},\\ p_2 + p_3 + p_5 &\equiv 0 \pmod{2}. \end{aligned} $$

여기서는 여섯 자리 홀짝을 모두 따로 고를 필요가 없다. $ p_2,p_3 $을 정하면 나머지 네 자리도 모두 정해진다.

가능한 홀짝 패턴은 네 개이고, 이들은 홀수인 $ n_i $가 $ 2 $개인 경우와 $ 4 $개인 경우로 나뉜다. 이제 실제 시행이 네 번이라는 조건 $ n_1 + n_2 + \cdots + n_6 = 4 $를 이용해 경우의 수를 센다.

5. 순서 있는 경우의 수를 센다

홀수인 $ n_i $가 $ 4 $개인 패턴에서는 전체 합이 $ 4 $이므로 네 횟수가 모두 $ 1 $이어야 한다. 한 패턴당 순서 있는 결과는 $ 4! = 24 $개이고, 이런 패턴이 두 개이므로 $ 2 \cdot 24 = 48 $개이다.

홀수인 $ n_i $가 $ 2 $개인 패턴에서는 한 패턴을 고정하고 홀수 조건을 가진 두 눈을 $ a,b $로 둔다. $ a,b $가 각각 한 번씩 나오고 나머지 짝수 조건 눈 중 하나가 두 번 나오는 경우는 $ 4 \cdot \frac{4!}{1! \cdot 1! \cdot 2!} = 48 $개이다. 또 $ a,b $ 중 하나가 세 번 나오고 다른 하나가 한 번 나오는 경우는 $ 2 \cdot \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 8 $개이다. 따라서 한 패턴에서 $ 48 + 8 = 56 $개이고, 이런 패턴이 두 개이므로 $ 2 \cdot 56 = 112 $개이다.

조건을 만족하는 순서 있는 네 번의 주사위 결과 수는 $ 48 + 112 = 160 $이다. 전체 표본공간은 $ 6^4 = 1296 $개이므로 구하는 확률은 $ \frac{160}{1296} = \frac{10}{81} $이다. 따라서 정답은 $ \boxed{\frac{10}{81}} $이고, 선택지는 ③이다.

6. 시험장용 경로

1. 처음 볼 조건: 카드의 처음 상태와 한 번 시행에서 뒤집히는 카드 집합이다.
2. 먼저 잡을 구조: 앞면/뒷면 상태를 뒤집힌 횟수의 홀짝으로 바꾼다.
3. 계산 시작 시점: 카드별 홀짝 조건을 $ n_i $에 대한 합동식으로 쓴 뒤이다.
4. 케이스 압축 기준: $ \pmod{2} $에서 같은 항이 두 번 나오면 사라진다는 점을 이용한다.
5. 빠른 검산 포인트: 주사위 네 번의 순서는 서로 다른 결과이므로 마지막에는 다항계수로 세어야 한다.

7. 오답 차단

• 카드 숫자는 바뀌지 않는다: 앞면과 뒷면에 같은 숫자가 있으므로 바뀌는 것은 보이는 면뿐이다.
• 처음 상태를 반대로 읽으면 안 된다: 카드 $ 1,6 $은 처음에 뒷면이므로 홀수 번 뒤집혀야 한다.
• 순서를 빼먹으면 안 된다: 네 번의 주사위 결과는 순서 있는 표본공간 $ 6^4 $에서 세어야 한다.

얻은 경우의 수 $ 160 $은 전체 경우의 수 $ 1296 $보다 충분히 작고, 확률 $ \frac{10}{81} $은 선택지 ③과 일치한다.

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문제 검색 하는 법

학년도 두 자리, 시행월 두 자리, 문제번호 두 자리 뒤에 m을 붙여 검색하면 된다. 예를 들어 270628m은 2027학년도 6월 모의고사 수학 28번 글이라는 뜻이다.

오류가 있으면 댓글로 알려 주면 수정한다.

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