2027학년도 6월 고3 모의고사 미적분 28번 쉬운 풀이 [270628m]

이 문제는 두 곡선과 수평선의 교점을 직접 구하는 문제가 아니다. 같은 $x$에서 세로로 옮겨 읽는 값이 무엇인지 보고, 그 값을 하나의 변수로 바꾸는 문제이다. 핵심은 $x$좌표보다 $e^{2x}$ 값을 추적하는 데 있다.

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문제

양수 $t$에 대하여 직선 $y=t$가 두 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$, $y=e^{2x}$와 만나는 점을 이용해 $f(t)$와 $g(t)$를 정의하고, $\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1}$의 값을 구하는 문제이다.

검색 코드: 270628m

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정답

정답: ③

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해설

1. $t=1$에서 두 점을 먼저 확인한다

극한이 $t \to 1$로 주어졌으므로, 처음에는 $t=1$일 때 P와 Q가 어디에 있는지 확인한다. $x=0$을 대입하면 $e^{2x}=1$이고 $e^{2x}-e^{-x}+1=1-1+1=1$이다. 따라서 두 곡선은 모두 $(0,1)$을 지난다.

즉 $t=1$일 때 P와 Q는 같은 점 $(0,1)$이고, 이때 세로로 옮겨 읽은 값도 $f(1)=g(1)=1$이다. 여기서 바로 P와 Q의 $x$좌표를 구하려고 하면 로그와 지수식이 섞인다. 문제에서 실제로 필요한 값은 $x$좌표 자체가 아니라, 같은 $x$에서 읽은 $e^{2x}$ 값이다.

2. 세로로 옮겨 읽는 과정을 한 함수로 묶는다

$u=e^{2x}$라고 두면 $e^{-x}=u^{-1/2}$이다. 그러면 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$은 $u$에 대한 함수 $h(u)=u-u^{-1/2}+1$로 읽힌다.

Q는 곡선 $y=e^{2x}$와 직선 $y=t$의 교점이므로 Q의 $x$좌표에서는 $e^{2x}=t$이다. 같은 $x$에서 다른 곡선의 높이를 읽은 것이 $g(t)$이므로 $g(t)=h(t)=t-t^{-1/2}+1$이다.

반대로 P는 곡선 $y=e^{2x}-e^{-x}+1$ 위에서 높이가 $t$인 점이다. 이 점에서 $y=e^{2x}$의 높이를 읽은 것이 $f(t)$이므로 $h(f(t))=t$이다. 따라서 두 함수는 $g(t)=h(t)$, $h(f(t))=t$로 정리된다.

말로 하면, $g$는 $e^{2x}$의 높이를 다른 곡선의 높이로 보내고, $f$는 그 과정을 다시 되돌리는 함수이다. 이 관찰 때문에 교점의 $x$좌표를 끝까지 추적할 필요가 없다.

3. 먼저 1차 변화가 사라지는지 확인한다

이제 필요한 미분값만 계산한다. $h(u)=u-u^{-1/2}+1$이므로 $h'(u)=1+\frac12u^{-3/2}$, $h''(u)=-\frac34u^{-5/2}$이다. 따라서 $h'(1)=\frac32$, $h''(1)=-\frac34$이다.

$g(t)=h(t)$이므로 $g'(1)=\frac32$, $g''(1)=-\frac34$이다. 다음으로 $h(f(t))=t$를 미분하면 $h'(f(t))f'(t)=1$이다. $t=1$에서 $f(1)=1$이므로 $\frac32 f'(1)=1$, 곧 $f'(1)=\frac23$이다.

여기서 주어진 분자의 $t=1$에서의 값을 먼저 보면 $9f'(1)-4g'(1)=9\cdot\frac23-4\cdot\frac32=0$이다. 분자가 $t=1$에서 0이 되므로, 주어진 극한은 $9f'(t)-4g'(t)$의 $t=1$에서의 미분계수를 묻는 식이다. 따라서 이제 필요한 값은 $f''(1)$과 $g''(1)$이다.

4. 두 번째 미분값만 계산한다

$g''(1)$은 이미 $g''(1)=-\frac34$이다. $f''(1)$은 $h'(f(t))f'(t)=1$을 한 번 더 미분해서 얻는다.

$h''(f(t))(f'(t))^2+h'(f(t))f''(t)=0$이고, $t=1$을 대입하면 $-\frac34\left(\frac23\right)^2+\frac32 f''(1)=0$이므로 $f''(1)=\frac29$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{t\to1}\frac{9f'(t)-4g'(t)}{t-1} =9f''(1)-4g''(1) =9\cdot\frac29-4\left(-\frac34\right)=5$이다. 정답은 ③이다.

5. 시험장용 정리

1. 처음 볼 조건: $t \to 1$이므로 두 곡선이 함께 지나는 $(0,1)$을 먼저 확인한다.
2. 먼저 잡을 구조: $x$좌표가 아니라 $u=e^{2x}$ 값을 추적한다.
3. 계산 시작 시점: $g(t)=h(t)$, $h(f(t))=t$가 정리된 뒤 미분한다.
4. 빠른 검산 포인트: $9f'(1)-4g'(1)=0$인지 확인한다. 이 값이 0이므로 두 번째 미분값까지 필요하다.

6. 오답 차단

• P와 Q의 역할: Q에서는 $e^{2x}=t$가 바로 성립하므로 $g(t)=h(t)$이다. P에서는 $h(f(t))=t$이다.
• 치환 지수: $u=e^{2x}$이면 $e^{-x}=u^{-1/2}$이다. $u^{-1}$로 바꾸면 안 된다.
• 극한 구조: $f'(1)$, $g'(1)$만 구하고 멈추면 안 된다. 분자가 $t=1$에서 0이 되는지 확인해야 한다.

7. 역검산

$t>0$에서 $t^{-1/2}$와 $f(t)^{-1/2}$가 모두 자연스럽게 정의된다. Q 조건으로 $g(t)=h(t)$를 얻고, P 조건으로 $h(f(t))=t$를 얻었으므로 두 조건을 모두 사용했다. 또한 $t=1$에서 $f(1)=g(1)=1$이고 $9f'(1)-4g'(1)=0$이므로 이계도함수 계산으로 넘어가는 흐름도 원래 극한식과 맞다.

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문제 검색 형식

학년도 두 자리, 시행월 두 자리, 문제번호 두 자리 뒤에 m을 붙여 검색하면 된다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270628m → 2027학년도 6월 모의고사 28번 미적분

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