2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 14번 쉬운 풀이 [270614m]

이 문제는 삼각방정식을 직접 풀기보다, 코사인 그래프와 수평선의 교점 개수로 바꾸어 보는 것이 빠르다. 전체 실근 수가 15개라는 홀수 조건이 두 번째 수평선의 위치를 결정한다.

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문제

양수 $a$와 자연수 $b$에 대하여 주어진 삼각방정식의 서로 다른 실근의 개수가 15일 때 $a+b$를 구하는 문제이다.

검색 코드: 270614m

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정답

정답: ③

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해설

1. 교점 개수로 바꾸기

주어진 식은 두 인수의 곱이 $0$인 식이므로 $\cos(b\pi x)=\frac12$ 또는 $\cos(b\pi x)=-\frac12-\frac1a$이다.

$0\le x\le2$에서 $b\pi x$는 $0$부터 $2b\pi$까지 움직인다. 따라서 $y=\cos(b\pi x)$는 정확히 $b$주기 반복된다. 이제 한 주기 안의 교점 개수를 세면 전체 실근 개수가 나온다.

2. 홀수 조건으로 두 번째 수평선 잡기

먼저 $\cos(b\pi x)=\frac12$은 한 주기마다 해가 2개이다. 따라서 첫 번째 인수에서 이미 $2b$개의 해가 나온다. 전체 실근의 개수는 15개로 홀수인데, $2b$는 항상 짝수이다. 그러므로 두 번째 수평선에서 나오는 해의 개수는 홀수여야 한다.

두 번째 수평선의 높이를 $c=-\frac12-\frac1a$라고 하자. $a>0$이므로 $c<-\frac12$이다. 코사인 그래프 한 주기에서 수평선 $y=c$와의 교점 개수는 $c$의 위치에 따라 갈린다.

$-1

3. a와 b 결정

따라서 $-\frac12-\frac1a=-1$이어야 한다. 여기서 $\frac1a=\frac12$이므로 $a=2$이다. 이때 한 주기마다 해의 개수는 $2+1=3$개이고, 전체 구간에는 $b$주기가 있으므로 $3b=15$이다. 따라서 $b=5$이다.

결국 $a+b=2+5=7$이므로 정답은 ③이다.

4. 시험장용 경로

1. 방정식 분리: 두 수평선 $y=\frac12$, $y=-\frac12-\frac1a$와 코사인 그래프의 교점 개수로 읽는다.
2. 주기 확인: $0\le x\le2$에서 $b$주기가 반복된다.
3. 고정 개수: 첫 번째 수평선은 한 주기마다 2개를 만든다.
4. 홀수 판단: 전체가 15개이므로 두 번째 수평선은 한 주기마다 1개를 만들어야 한다.
5. 접점 결정: 코사인이 한 주기에서 수평선과 한 번만 만나는 경우는 최솟값 $-1$에 접할 때이다.

5. 오답 차단

• 두 번째 식: $\cos(b\pi x)=-\frac12-\frac1a$이다. 손글씨 OCR의 $-\frac1{2a}$ 표기는 사용하면 안 된다.
• 끝점 중복: 한 주기에서 $y=\frac12$와 만나는 점은 2개이다. 구간 양끝점에서 $\cos=1$이므로 여기서는 끝점 중복이 생기지 않는다.
• 개수 세기: 전체 개수 15를 보고 바로 $b=15$처럼 두면 안 된다. 먼저 한 주기 안의 교점 개수를 세야 한다.

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색하면 된다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270614m → 2027학년도 6월 모의고사 14번 수학

오류가 있으면 댓글로 알려주면 수정하겠다.

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