2027학년도 6월 고3 모의고사 미적분 29번 쉬운 풀이 [270629m]

이 문제는 등차수열과 등비수열이 같은 값으로 연결되는 위치를 먼저 보는 문제이다. 등비급수가 수렴한다는 조건을 이용하면 $b_1,b_2,b_3$의 감소량이 바로 비교되고, 그 결과 자연수 $k$의 후보가 $5,6$으로 줄어든다.

---

문제

모든 항이 정수인 등차수열과 모든 항이 양수인 등비수열이 연결될 때, 급수의 수렴 조건과 삼각함수의 홀짝성을 이용해 최솟값을 구하는 문제이다.

검색 코드: 270629m

---

정답

정답: 54

---

해설

1. 먼저 세 값을 한 줄에 놓는다

조건 (가), (나)를 보면 등비수열의 앞 세 항이 등차수열의 몇 번째 항인지 연결되어 있다. 즉 $b_1=a_1$, $b_2=a_4$, $b_3=a_k$이다.

등비급수 $\sum b_n$이 수렴하고 모든 $b_n$이 양수이므로 등비수열의 공비 $r$은 $0b_2>b_3$이고, 연속한 항 사이의 감소량도 점점 작아진다. 실제로 $b_1=a$이면 $b_1-b_2=a(1-r)$, $b_2-b_3=ar(1-r)$이므로 $b_1-b_2>b_2-b_3$이다.

이 세 값을 등차수열 위에 표시한다. 등차수열의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $b_1=a_1=a$, $b_2=a_4=a+3d$이다. $b_1>b_2$이므로 $d<0$이다. 또 $b_34$이다.

감소량을 등차수열의 간격으로 바꾸면 $b_1-b_2=a_1-a_4=-3d$, $b_2-b_3=a_4-a_k=-(k-4)d$이다. 그런데 $b_1-b_2>b_2-b_3$이고 $-d>0$이므로 $3>k-4$, 즉 $k<7$이다. 따라서 자연수 $k$는 $k=5$ 또는 $k=6$뿐이다.

2. 공비까지 같이 정한다

위의 감소량 비교를 한 번 더 쓰면 공비 $r$도 바로 나온다. 등비수열에서는 두 감소량의 비가 $\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2}=r$이다. 등차수열의 간격으로는 $\frac{b_2-b_3}{b_1-b_2}=\frac{-(k-4)d}{-3d}=\frac{k-4}{3}$이므로 $r=\frac{k-4}{3}$이다.

따라서 $k=5$이면 $r=\frac13$, $k=6$이면 $r=\frac23$이다. 이제 남은 일은 두 경우에서 정수 조건과 $\cos(a_n\pi)$의 홀짝 효과를 확인하는 것이다.

3. $k=5$인 경우

$k=5$이면 $r=\frac13$이다. 조건 $a_4=b_2$는 $a+3d=ar$이므로 $3d=a(\frac13-1)=-\frac{2a}{3}$이다. 따라서 $d=-\frac{2a}{9}$이다. $a,d$가 정수이고 $a>0$이므로 $a=9t$, $d=-2t$라 둘 수 있다.

그러면 $a_n=9t+(n-1)(-2t)=t(11-2n)$이다. 여기서 $11-2n$은 항상 홀수이므로 $a_n$의 홀짝은 모든 $n$에서 같다. 따라서 $\cos(a_n\pi)$는 계속 같은 부호이고, 절댓값을 취하면 일반 등비급수의 합만 남는다.

이 경우의 값은 $\frac{a}{1-r}=\frac{9t}{1-\frac13}=\frac{27t}{2}$이고, 최솟값은 $t=1$일 때 $\frac{27}{2}$이다.

4. $k=6$인 경우

$k=6$이면 $r=\frac23$이다. 마찬가지로 $a+3d=ar$에서 $3d=a(\frac23-1)=-\frac{a}{3}$이므로 $d=-\frac{a}{9}$이다. 따라서 $a=9t$, $d=-t$라 둘 수 있다.

이때 $a_n=9t-(n-1)t=t(10-n)$이다. 이제 $t$의 홀짝에 따라 $\cos(a_n\pi)$의 부호 변화가 달라진다.

$t$가 짝수이면 모든 $a_n$이 짝수이므로 부호가 일정하다. 이때 값은 $\frac{9t}{1-\frac23}=27t$이고, 짝수 $t$에서의 최소는 $t=2$일 때 $54$이다.

$t$가 홀수이면 $a_n=t(10-n)$의 홀짝이 한 항씩 바뀐다. 따라서 $\cos(a_n\pi)$의 부호도 번갈아 바뀌고, 절댓값은 교대 등비급수의 합이 된다. 이때 값은 $\frac{9t}{1+\frac23}=\frac{27t}{5}$이고, 홀수 $t$에서의 최소는 $t=1$일 때 $\frac{27}{5}$이다.

5. 최솟값

가능한 최소 후보는 $k=5$에서 $\frac{27}{2}$, $k=6$에서 $54$와 $\frac{27}{5}$이다. 이 중 가장 작은 값은 $\frac{27}{5}$이므로 $m=\frac{27}{5}$이다. 따라서 $10m=10\cdot\frac{27}{5}=54$이다.

6. 검산

최솟값은 $k=6$, $t=1$일 때 나온다. 이때 $a=9$, $d=-1$, $r=\frac23$이므로 $a_n=10-n$이고 $b_n=9(\frac23)^{n-1}$이다.

조건 (나)를 확인하면 $b_3=9(\frac23)^2=4$이고 $a_6=4$이다. 또 $0

마지막 합은 $a_n=10-n$의 홀짝이 번갈아 바뀌므로 $\left|\sum_{n=1}^{\infty} b_n\cos(a_n\pi)\right| =\left|-9+9\cdot\frac23-9(\frac23)^2+\cdots\right| =\frac{9}{1+\frac23} =\frac{27}{5}$이다. 따라서 $10m=54$가 맞다.

7. 다음 문제에 남길 기준

등차수열과 등비수열이 같은 값으로 연결될 때는 먼저 같은 값들을 한 줄에 놓아 보는 것이 좋다. 특히 양수 등비수열의 공비가 $0

또 $\cos(a_n\pi)$는 정수 $a_n$의 홀짝만 본다. 구조를 정한 뒤에는 $a_n$의 크기보다 공차의 홀짝, 또는 여기서는 $t$의 홀짝이 더 중요한 정보이다.

---

문제 검색 형식

학년도 두 자리, 시행월 두 자리, 문제번호 두 자리 뒤에 m을 붙여 검색한다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270615m → 2027학년도 6월 모의고사 15번 수학

오류 제보는 댓글로 남기면 반영한다.

2027학년도 6월 모의평가 수학 해설 모음

문제 해설 정답