2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 21번 쉬운 풀이 [270621m]

이 문제는 $\alpha$를 직접 구하는 계산보다, $f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4$를 수평선과 삼차함수의 교점으로 바꾸어 읽는 것이 먼저이다. 가장 오른쪽 교점이 언제 갑자기 바뀌는지를 보면 불연속 조건의 의미가 보인다.

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문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여, $f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4$를 만족하는 실수 $\alpha$의 최댓값 $g(t)$가 $t=3$에서만 불연속이고 $g(3)=1$일 때 $f(2)$를 구하는 문제이다.

검색 코드: 270621m

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정답

정답: 11

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해설

1. 수평선을 움직여 본다

처음에는 $\alpha$를 직접 구하려고 하지 않는다. 오른쪽 항을 하나의 높이로 보면 된다. 식 $f(\alpha)=f'(t)-4t^2+4$는 삼차함수 $y=f(x)$와 수평선 $y=f'(t)-4t^2+4$의 교점을 묻는 식이다. $g(t)$는 그 교점들 중 가장 오른쪽에 있는 교점의 $x$좌표이다.

손으로 삼차함수 그래프와 수평선을 그려 수평선을 조금씩 올려 보면, 가장 오른쪽 교점이 갑자기 바뀌는 높이는 극소값 높이이다. 극소값보다 조금 낮은 높이에서는 왼쪽 가지의 교점 하나만 있다. 그런데 수평선이 극소점에 닿는 순간 오른쪽의 극소점이 새 교점으로 생기면서 가장 오른쪽 해가 갑자기 오른쪽으로 넘어간다.

반대로 극댓값 높이에서는 가장 오른쪽 교점이 계속 오른쪽 가지에 남아 있으므로 이런 점프가 생기지 않는다. 따라서 불연속 조건은 수평선의 높이가 $f(x)$의 극소값 높이에 닿는 순간을 찾으라는 뜻이다.

2. 움직이는 높이의 모양을 본다

수평선의 높이를 $H(t)$라 두면 $H(t)=f'(t)-4t^2+4$이다. $f(x)$가 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f'(t)$의 최고차항은 $3t^2$이다. 따라서 $H(t)$의 최고차항은 $3t^2-4t^2=-t^2$이고, $H(t)$는 아래로 열린 포물선이다.

$H(t)$의 최댓값이 $f$의 극소값보다 작으면 수평선 높이가 극소값에 닿지 않으므로 불연속이 없다. 최댓값이 극소값보다 크면 아래로 열린 포물선이 그 높이를 보통 두 번 지나므로 불연속이 두 번 생긴다. 문제에서는 $g(t)$가 $t=3$에서만 불연속이라고 했으므로, $H(t)$의 최댓값이 $f$의 극소값과 정확히 같아야 하고 그 꼭짓점이 $t=3$이어야 한다.

3. $g(3)=1$을 극소점 위치로 읽는다

$t=3$에서 $H(t)$는 극소값 높이에 닿는다. 이때 $g(3)=1$이라는 말은 가장 오른쪽 교점, 즉 극소점의 $x$좌표가 $1$이라는 뜻이다. 따라서 $f(x)$는 $x=1$에서 극소값을 가진다.

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수의 도함수는 최고차항의 계수가 $3$인 이차식이다. 다른 극값의 $x$좌표를 $a$라 두면 $f'(x)=3(x-1)(x-a)$로 쓸 수 있다.

이제 $H(t)=3(t-1)(t-a)-4t^2+4=-t^2-3(a+1)t+3a+4$이다. 아래로 열린 이차함수 $H(t)$의 꼭짓점이 $t=3$이므로 $H'(3)=0$이다. $H'(t)=-2t-3(a+1)$에서 $-6-3(a+1)=0$이므로 $a=-3$이다.

따라서 $f'(x)=3(x-1)(x+3)$이다. 실제로 다른 극값의 위치가 $-3$이므로 $x=1$은 극소점이라는 조건과도 맞다.

4. 극소값으로 상수를 정한다

$f'(x)=3(x-1)(x+3)=3x^2+6x-9$이므로 $f(x)=x^3+3x^2-9x+C$이다. 남은 상수 $C$는 극소값의 높이로 정한다.

$t=3$에서 $H(t)$가 극소값과 같으므로 $f(1)=H(3)$이다. 그런데 $f'(3)=3(3-1)(3+3)=36$이므로 $H(3)=36-36+4=4$이다. 따라서 $f(1)=4$이다.

$f(1)=1+3-9+C=C-5$이므로 $C-5=4$, 즉 $C=9$이다. 따라서 $f(x)=x^3+3x^2-9x+9$이다.

5. 필요한 값만 계산한다

이제 문제에서 묻는 값만 계산하면 된다. $f(2)=8+12-18+9=11$이다.

따라서 정답은 11이다.

6. 오답 차단

• $g(3)=1$의 의미: 단순히 $f(1)=H(3)$이라는 대입 조건이 아니다. 불연속이 생기는 순간의 가장 오른쪽 교점이므로 $x=1$이 $f(x)$의 극소점이라는 뜻이다.
• 극댓값 높이: 가장 오른쪽 해는 극댓값 높이를 지날 때 계속 오른쪽 가지에 있으므로 점프하지 않는다.
• 불연속이 하나뿐이라는 조건: $H(t)$가 극소값 높이를 두 번 지나면 불연속도 두 번 생긴다. 그래서 꼭짓점 접촉이어야 한다.

7. 빠른 검산

구한 함수는 $f(x)=x^3+3x^2-9x+9$이고 $f'(x)=3(x-1)(x+3)$이다. 따라서 $x=1$은 극소점이고 $f(1)=4$이다.

또 $f'(t)-4t^2+4=-t^2+6t-5=4-(t-3)^2$이므로 이 높이는 $t=3$에서만 극소값 $4$에 닿는다. 따라서 $g(t)$는 $t=3$에서만 불연속이고 $g(3)=1$이다.

8. 다음 문제에 남길 판단 기준

방정식 $f(x)=\text{상수}$에서 해의 개수나 가장 큰 해가 조건으로 나오면, 먼저 수평선을 움직이는 그림으로 바꾸어야 한다. 교점 개수나 가장 오른쪽 교점이 바뀌는 순간은 보통 극값 높이, 접점, 경계값 중 하나이다.

이 문제에서는 가장 큰 해와 불연속이 함께 나왔으므로, 해를 직접 구하기 전에 수평선의 높이가 극소값에 닿는 순간을 찾는 것이 가장 빠른 출발점이다.

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문제 검색 하는 법

학년도 2자리, 시행월 2자리, 문제번호 2자리를 이어 쓰고 끝에 m을 붙여 검색한다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270621m → 2027학년도 6월 모의고사 21번 수학

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