2027학년도 6월 고3 모의고사 확률과 통계 29번 쉬운 풀이 [270629pm]

이 문제는 조건부확률을 계산하는 문제이다. 핵심은 곱이 홀수라는 조건을 받은 뒤, 표본공간을 새로 잡는 것이다. 전체 주사위 결과 $ 6^5 $에서 바로 세지 않고, 홀수 눈만 남은 조건부공간 안에서 합이 $ 15 $가 되는 경우를 센다.

문제

서로 다른 다섯 개의 주사위를 동시에 던져 나온 다섯 개의 눈의 수의 곱이 홀수일 때, 이 다섯 개의 눈의 수의 합이 $ 15 $일 확률은 $ \dfrac{q}{p} $이다. $ p + q $의 값을 구하시오.

(단, $ p $와 $ q $는 서로소인 자연수이다.) [4점]

검색 코드: 270629m

정답: 98

처음 할 일은 곱을 계산하는 것이 아니라, 한 주사위에서 어떤 눈이 남는지 확인하는 것이다. 곱이 홀수이려면 다섯 개의 눈이 모두 홀수이어야 한다. 하나라도 짝수가 나오면 전체 곱은 짝수가 된다.

따라서 “곱이 홀수일 때”라는 조건을 받은 뒤에는 각 주사위의 눈이 $ 1,3,5 $ 중 하나로 제한된다. 다섯 주사위는 서로 다르므로 조건부공간의 크기는 $ 3^5 = 243 $이다.

여기서 분모를 $ 6^5 $로 두면 안 된다. 지금 구하는 것은 전체 결과 중의 확률이 아니라, 이미 곱이 홀수인 결과들 안에서 합이 $ 15 $가 되는 비율이다.

이제 남은 일은 $ 1,3,5 $만 다섯 번 나오는 상황에서 합이 $ 15 $가 되는 경우를 세는 것이다. 직접 눈의 조합을 찾을 수도 있지만, $ 1,3,5 $를 각각 $ 0,1,2 $로 바꾸면 합 조건이 짧아진다.

이 변환은 모든 눈에서 $ 1 $을 빼고 $ 2 $로 나누는 것이다. 원래 다섯 눈의 합이 $ 15 $이면, 기본으로 들어 있는 $ 1 $ 다섯 개를 빼고 남은 양은 $ 10 $이다. 이것을 $ 2 $로 나누면 새 수들의 합은 $ 5 $가 된다.

따라서 문제는 $ 0,1,2 $를 다섯 번 골라 합이 $ 5 $가 되는 순서 있는 경우의 수를 세는 문제로 바뀐다. 순서가 있는 이유는 다섯 주사위가 서로 다르기 때문이다.

$ 0,1,2 $의 개수를 각각 $ a,b,c $라 하면 전체 개수 조건은 $ a + b + c = 5 $이고, 합 조건은 $ b + 2c = 5 $이다. 가능한 분포는 세 가지뿐이다.

따라서 합이 $ 15 $가 되는 경우의 수는 $ 1 + 20 + 30 = 51 $이다. 조건부공간 전체가 $ 243 $가지이므로 구하는 확률은 $ \dfrac{51}{243} = \dfrac{17}{81} $이다.

문제에서는 확률을 $ \dfrac{q}{p} $라고 두었다. 보통 쓰는 분자, 분모 표기와 순서가 반대이므로 마지막에 확인해야 한다. $ \dfrac{17}{81} $에서 $ q = 17 $, $ p = 81 $이므로 $ p + q = 98 $이다.

따라서 정답은 98이다.

분모 착각: 조건부확률이므로 분모는 $ 6^5 $가 아니라 $ 3^5 $이다.
주사위 구분 누락: 서로 다른 다섯 개의 주사위이므로 같은 눈의 모양도 배치 위치를 세어야 한다.
답 형식 착각: 확률이 $ \dfrac{q}{p} $로 주어졌으므로 $ \dfrac{17}{81} $에서 $ q = 17 $, $ p = 81 $이다.

모든 조건을 사용하면 합이 $ 15 $가 되는 경우는 $ 51 $가지, 조건부공간은 $ 243 $가지이다. 약분 결과 $ \dfrac{17}{81} $이므로 답안표의 값 $ 98 $과도 일치한다.

문제 검색 하는 법

학년도 2자리, 시행월 2자리, 문제번호 2자리에 m을 붙인 형식으로 검색한다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270629m → 2027학년도 6월 모의고사 29번 확률과 통계

오류가 있다면 알려 주면 수정하겠다.

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