2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 15번 쉬운 풀이 [270615m]

이 문제는 적분을 직접 계산하는 문제가 아니다. 핵심은 절댓값 적분 조건을 구간 안의 부호 섞임으로 바꾸어 읽는 것이다. 따라서 먼저 고정 길이 구간이 어느 부호 변화 근을 내부에 포함하는지 보고, 그다음 남은 계수를 결정한다.

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문제

상수항이 $0$인 삼차함수 $f(x)$가 조건 (가), (나)를 만족할 때 $f(6)$의 값을 구하는 문제이다.

검색 코드: 270615m

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정답

정답: ④

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해설

1. 절댓값 적분을 부호 섞임으로 바꾸기

처음부터 적분을 계산하면 길어진다. 먼저 $\int |g(x)|\,dx$와 $\left|\int g(x)\,dx\right|$가 언제 달라지는지 확인한다.

연속함수 $g(x)$가 한 구간에서 계속 $0$ 이상이거나 계속 $0$ 이하이면 두 값은 같다. 반대로 같은 구간 안에 양수 부분과 음수 부분이 함께 있으면 절댓값 넓이와 부호 있는 넓이가 달라진다. 따라서 이 부등식은 구간 안에서 함수값의 부호가 섞인다는 뜻이다.

조건 (가)는 길이 $3$인 구간 $[p,p+3]$ 안에서 $f(x)$의 부호가 섞이는 $p$의 범위가 정확히 $0 \lt p \lt 3$이라는 뜻이다. 어떤 부호 변화 근 $r$이 구간 내부에 들어오려면 $p \lt r \lt p+3$이므로 $r-3 \lt p \lt r$이다. 즉 부호 변화 근 하나는 $p$의 범위 $(r-3,r)$을 만든다.

2. 조건 (가)로 근의 배치 정하기

상수항이 $0$이므로 $f(0)=0$이다. 따라서 $x=0$은 근이다. 여기서 봐야 할 것은 $x=0$에서 그래프가 축을 지나가는지, 아니면 축에 접하는지이다.

만약 $x=0$에서 부호가 바뀐다면, $[p,p+3]$이 $0$을 내부에 포함하는 $-3 \lt p \lt 0$에서도 부호가 섞인다. 그러나 조건 (가)의 범위는 $0 \lt p \lt 3$뿐이다. 그러므로 $x=0$은 부호 변화 근이 아니며, 삼차함수에서 근이지만 부호가 바뀌지 않으려면 중근이어야 한다.

남은 하나의 근을 $r$이라 두면 그 근에서만 부호가 바뀐다. 따라서 $f(x)$는 $f(x)=ax^2(x-r)$ 꼴이다. 이 부호 변화 근 $r$이 만드는 $p$의 범위는 $(r-3,r)$이고, 이것이 $0 \lt p \lt 3$과 같아야 하므로 $r=3$이다.

따라서 조건 (가)만으로 그래프는 $x=0$에서 $x$축에 접하고, $x=3$에서 $x$축을 가로지르는 삼차함수로 좁혀진다. 즉 $f(x)=ax^2(x-3)$이다.

3. 조건 (나)로 계수 정하기

이제 남은 것은 계수 $a$이다. 조건 (나)는 $[0,3]$에서 $f(x)+q$의 부호가 섞이는 $q$의 범위가 $0 \lt q \lt 1$이라는 뜻이다.

여기서는 $q \gt 0$이라는 점을 먼저 본다. $f(x)+q$는 $f(x)$의 그래프를 위로 $q$만큼 올린 그래프이다. $x=0,3$에서는 $f(x)=0$이므로 $f(x)+q=q \gt 0$이다. 양 끝은 이미 양수이니, 부호가 섞이려면 중간의 최솟값이 아직 $x$축 아래에 남아 있어야 한다.

$f(x)=ax^2(x-3)$에서 먼저 $h(x)=x^2(x-3)$의 범위를 보면 된다. $0 \lt x \lt 3$에서는 $x^2 \gt 0$, $x-3 \lt 0$이므로 $h(x) \lt 0$이고, 양 끝 $x=0,3$에서는 값이 $0$이다. 또한 $h'(x)=3x(x-2)$이므로 $x=2$에서 최솟값 $h(2)=-4$를 가진다.

따라서 $a \gt 0$이면 $-4a \le f(x) \le 0$이다. $f(x)+q$가 양수와 음수를 모두 가지려면 양 끝에서는 양수이고 최솟값에서는 음수여야 하므로 $q \gt 0$이고 $-4a+q \lt 0$이다. 즉 가능한 범위는 $0 \lt q \lt 4a$이다.

문제에서 이 범위가 $0 \lt q \lt 1$이므로 $4a=1$, 곧 $a=\frac14$이다. 반대로 $a \lt 0$이면 $[0,3]$에서 $f(x)\ge 0$이고, 양수 $q$를 더해도 계속 양수이므로 조건 (나)를 만들 수 없다. 결국 $f(x)=\frac14x^2(x-3)$이다.

4. 필요한 값 계산

이제 문제에서 묻는 값만 대입한다. $f(6)=\frac14\cdot 6^2\cdot(6-3)=27$이다.

따라서 정답은 ④이다.

5. 시험장용 경로

시험장에서 이 문제를 다시 풀 때는 다음 순서로 판단하면 된다.

1. 처음 볼 조건: $\int |g|$와 $|\int g|$가 달라지는 조건을 부호 섞임으로 바꾼다.
2. 먼저 잡을 구조: 길이 $3$인 구간이 부호 변화 근 $r$을 내부에 포함하면 $p$의 범위는 $(r-3,r)$이다.
3. 계산 시작 시점: $x=0$은 접점, $x=3$은 통과 근이 되어 $f(x)=ax^2(x-3)$이 확정된 뒤이다.
4. 케이스 압축 기준: $q \gt 0$이므로 $f(x)+q$의 양 끝은 양수이고, 중간 최솟값만 보면 된다.
5. 빠른 검산 포인트: $q=0$, $q=1$에서 부호가 실제로 섞이지 않는지 확인한다.

6. 오답 차단

• $x=0$을 단근으로 두는 실수: 단근이면 $-3 \lt p \lt 0$에서도 부호가 섞여 조건 (가)와 맞지 않는다.
• 근이 구간 끝점에 있는 경우를 포함하는 실수: 부호 변화 근이 끝점에만 있으면 구간 안에 양쪽 부호가 함께 들어오지 않는다.
• $a \lt 0$을 남겨 두는 실수: 이 경우 $[0,3]$에서 $f(x)\ge 0$이므로 양수 $q$를 더하면 부호가 섞일 수 없다.

7. 역검산

• 조건 (가): $f(x)=\frac14x^2(x-3)$은 $x=0$에서 접하고 $x=3$에서만 부호가 바뀐다. 따라서 $[p,p+3]$이 $3$을 내부에 포함하는 $0 \lt p \lt 3$에서만 부호가 섞인다.
• 조건 (나): $[0,3]$에서 $-1 \le f(x) \le 0$이므로 $f(x)+q$가 부호를 바꾸는 범위는 정확히 $0 \lt q \lt 1$이다.
• 경계값: $p=0,3$과 $q=0,1$은 모두 한쪽 부호만 남는 경계이므로 열린구간이 맞다.
• 선택지 규모: $f(6)=27$은 선택지 ④와 일치한다.

따라서 모든 조건이 일관되게 만족된다.

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색하면 된다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270615m → 2027학년도 6월 모의고사 15번 수학

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