2027학년도 6월 고3 모의고사 미적분 30번 쉬운 풀이 [270630m]

이 문제는 삼차함수의 일반형을 바로 전개하는 문제가 아니다. 먼저 세제곱근 안쪽 식의 영점 차수를 보고, 미분가능 조건이 함수의 형태를 어떻게 줄이는지 확인해야 한다. 그 뒤 극값 조건을 $g$가 아니라 $g^3$의 미분으로 바꾸면 계산이 짧아진다.

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문제

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $g(x)=\sqrt[3]{x(f(x))^2}$가 실수 전체에서 미분가능하고, $x=\frac{19}{7}$와 $x=3$에서 극값을 가질 때 $f(5)$를 구하는 문제이다.

검색 코드: 270630m

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정답

정답: 20

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해설

1. 세제곱근 안의 0을 먼저 표시한다

식이 복잡해 보일 때 바로 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$로 두면 조건의 가장 큰 단서가 흐려진다. 먼저 $g(x)^3=x(f(x))^2$를 쓰고, 세제곱근 안쪽이 어디에서 $0$이 되는지 본다.

세제곱근은 안쪽 식의 영점 차수가 낮으면 미분가능성이 깨진다. 안쪽이 $x-a$처럼 1차로 0이 되면 $\sqrt[3]{x-a}$ 꼴이 되고, $(x-a)^2$처럼 2차로 0이 되면 $|x-a|^{2/3}$ 꼴이 된다.

특히 $x=0$은 식 앞에 이미 들어 있다. 만약 $f(0)\ne0$이면 $x(f(x))^2$는 $x=0$에서 1차로만 0이 되므로 $g$가 미분가능하지 않다. 따라서 반드시 $f(0)=0$이다.

그러므로 $f(x)=xp(x)$로 둘 수 있고, $p(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차식이다. 이때 $g(x)^3=x^3(p(x))^2$가 된다. 미분가능 조건은 이제 남은 이차식 $p(x)$의 근 구조를 정하는 문제로 바뀐다.

2. 남은 이차식의 실근을 줄인다

이제 $p(x)$의 실근을 본다. $p$가 $0$이 아닌 곳에서 단근을 가지면 $(p(x))^2$ 때문에 $x(f(x))^2$는 그 점에서 2차로만 0이 된다. 그러면 $g$는 $|x-a|^{2/3}$ 꼴을 포함하므로 미분가능하지 않다.

따라서 $p$는 실근이 없거나, 실근이 있더라도 중근이어야 한다. 중근을 $p(x)=(x-k)^2$로 두면 $g(x)=x|x-k|^{4/3}$이고, 극값 후보는 $k$와 $\frac{3k}{7}$로 묶인다. $x\ne k$에서 $g=x|x-k|^{4/3}$를 미분하면 $g'=0$의 다른 해는 $x=\frac{3k}{7}$이고, $x=k$도 $|x-k|^{4/3}$ 때문에 극값 후보가 된다. 그런데 주어진 극값 위치 $\frac{19}{7}$과 $3$은 이 비율과 맞지 않는다.

결국 $p(x)$는 실근을 갖지 않는다. $p$는 최고차항의 계수가 양수인 이차식이므로 모든 실수 $x$에서 $p(x)>0$이다.

3. 극값 조건은 $g^3$에서 잡는다

$p(x)>0$이므로 $g(x)=x(p(x))^{2/3}$이다. 직접 $g$를 미분해도 되지만, 계산을 줄이려면 $G(x)=g(x)^3$을 이용한다. 주어진 극값 위치는 모두 양수이고 $p(x)>0$이므로 그 두 점에서 $g(x)\ne0$이다. 따라서 $g'(x)=0$이면 $G'(x)=3g(x)^2g'(x)=0$도 성립한다.

$G(x)=x^3(p(x))^2$를 미분하면 $G'(x)=x^2p(x)\{3p(x)+2xp'(x)\}$이다. 두 극값 위치에서는 $x^2p(x)>0$이므로 실제로 계수를 정하는 식은 $3p(x)+2xp'(x)=0$이다.

4. 남은 계수를 정한다

$p(x)=x^2+ax+b$로 둔다. 그러면 $p'(x)=2x+a$이고, $3p(x)+2xp'(x)=7x^2+5ax+3b$이다.

$x=\frac{19}{7}$과 $x=3$에서 극값을 가지므로 이 이차식의 두 근은 $\frac{19}{7}$과 $3$이다. 최고차항이 $7$이므로 $7x^2+5ax+3b=7\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)=7x^2-40x+57$이다.

계수를 비교하면 $5a=-40$, $3b=57$이므로 $a=-8$, $b=19$이다. 따라서 $p(x)=x^2-8x+19=(x-4)^2+3$이다.

5. 조건을 확인하고 답을 구한다

구한 $p(x)$는 $(x-4)^2+3$이므로 모든 실수에서 양수이다. 앞에서 남겨 둔 $p(x)>0$ 구조와 맞고, $g$는 실수 전체에서 미분가능하다.

또한 $3p(x)+2xp'(x)=7\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)$이다. 따라서 $x=\frac{19}{7}$에서는 증가에서 감소로, $x=3$에서는 감소에서 증가로 바뀌어 두 점은 실제 극값을 준다.

이제 $f(x)=x(x^2-8x+19)$이므로 $f(5)=5(25-40+19)=20$이다. 따라서 정답은 20이다.

6. 시험장용 경로

1. 처음 볼 조건: $g(x)^3=x(f(x))^2$를 쓰고 세제곱근 안쪽의 영점 차수를 확인한다.
2. 먼저 잡을 구조: $x=0$에서 미분가능하려면 $f(0)=0$이므로 $f(x)=xp(x)$이다.
3. 케이스 압축 기준: $p$의 단근은 미분가능성을 깨고, 중근은 극값 위치의 비율과 맞지 않는다.
4. 계산 시작 시점: $p(x)>0$이 확정된 뒤 $G=g^3$를 미분한다.
5. 빠른 검산 포인트: 구한 $p(x)$가 실제로 양수인지, 두 극값 위치에서 부호가 바뀌는지 확인한다.

7. 오답 차단

• 일반형부터 전개하는 실수: $f(0)=0$을 먼저 잡으면 삼차식 전체가 아니라 이차식 $p$만 찾으면 된다.
• 단근과 중근을 같은 근으로 보는 실수: 단근은 $|x-a|^{2/3}$ 꼴을 만들어 미분가능성을 깨뜨린다.
• $G'=0$을 무조건 $g'=0$과 같다고 보는 실수: 여기서는 극값 위치에서 $g(x)\ne0$이므로 $G'=3g^2g'$를 안전하게 사용할 수 있다.
• 검산 누락: $p(x)=x^2-8x+19$가 실제로 실근이 없는지 확인해야 한다.

8. 역검산

$p(x)=x^2-8x+19=(x-4)^2+3>0$이므로 실수 전체에서 $g(x)=x(p(x))^{2/3}$는 미분가능하다. 또 $3p(x)+2xp'(x)=7\left(x-\frac{19}{7}\right)(x-3)$이므로 주어진 두 점에서 극값을 갖는다. 마지막으로 $f(5)=20$이므로 모든 조건과 일치한다.

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문제 검색 형식

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색하면 된다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270615m → 2027학년도 6월 모의고사 15번 수학

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