2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 22번 쉬운 풀이[270622m]

이 문제는 수열의 일반항을 직접 찾는 쪽이 아니다. 조건의 $2n$, $4n+1$, $4n+3$을 인덱스가 만들어지는 규칙으로 읽고, 값이 $10$이 되는 경로가 몇 개인지 세면 된다.

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문제

수열 $\{a_n\}$은 $a_1=1$, $a_3=4$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{2n}=a_n+1$, $a_{4n+3}=a_{4n+1}=a_n+4$를 만족한다. $a_k=10$이 되는 자연수 $k$가 몇 개인지 구하는 문항이다.

검색 코드: 270622m

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정답

정답: 32

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해설

1. 규칙을 화살표로 읽는다

처음 보면 $a_1,a_2,a_3,\cdots$를 차례로 쓰고 싶어진다. 다만 조건의 인덱스가 $2n$, $4n+1$, $4n+3$으로 흩어져 있어서, 앞에서부터 늘어놓으면 금방 복잡해진다.

그래서 한 항이 어떤 항을 새로 만드는지 화살표로 본다. $a_n$ 값을 하나 알고 있으면 $n\to 2n$으로 갈 때 값은 $1$ 증가하고, $n\to 4n+1$, $n\to 4n+3$으로 갈 때 값은 각각 $4$ 증가한다.

한 인덱스에서는 $2n$으로 가는 값 $+1$ 이동 하나와, $4n+1$, $4n+3$으로 가는 값 $+4$ 이동 두 개가 생긴다. 그래서 $a_k=10$을 만드는 일은 시작값 $1$ 또는 $4$에서 값 $10$까지 가는 이동 방법을 세는 일로 바뀐다.

2. 경로가 겹치지 않는지 확인한다

이동 방법을 세기 전에는 서로 다른 이동 경로가 같은 $k$를 만들지 않는지 살핀다. 이 확인이 빠지면 경우의 수를 그대로 더할 수 없다.

$1$, $3$을 제외한 자연수 $k$를 보자. 짝수는 반드시 $k=2n$ 꼴이고, $5$ 이상의 홀수는 $4n+1$ 또는 $4n+3$ 중 정확히 하나에만 해당한다. 따라서 $1$, $3$을 제외한 모든 인덱스는 바로 이전 인덱스가 유일하다.

거꾸로 따라 올라가도 어느 시작점에서 왔는지가 하나로 정해진다. 결국 서로 다른 이동 문자열은 서로 다른 인덱스를 만든다. 이제 값의 증가량만 보고 이동 문자열을 세어도 된다.

여기서 $3$만 따로 조심하면 된다. $3=4n+3$으로 보려면 $n=0$이어야 하는데, 조건은 자연수 $n$에 대해서만 주어져 있다. 따라서 $a_3=4$는 $a_1=1$에서 만들어진 값이 아니라 별도의 시작점이다.

3. 시작값별 이동 횟수를 센다

값 $+1$ 이동의 횟수를 $x$, 값 $+4$ 이동의 횟수를 $y$라 하자. $a_1=1$에서 값 $10$이 되려면 총 $9$만큼 증가해야 하므로 $x+4y=9$이다. 가능한 $y$는 $0,1,2$이다.

$y=0$이면 전부 $+1$ 이동이므로 $1$가지이다. $y=1$일 때는 총 $6$번의 이동 중 $+4$ 이동의 위치가 $6$가지이고, 그 $+4$ 이동은 $4n+1$, $4n+3$ 중 하나를 고를 수 있어 $6\cdot2=12$가지이다. $y=2$일 때는 총 $3$번의 이동 중 $+1$ 이동의 위치가 $3$가지이고, 두 번의 $+4$ 이동마다 선택지가 둘씩 있으므로 $3\cdot2^2=12$가지이다. 따라서 $a_1=1$에서 출발하는 경우는 $25$가지이다.

$a_3=4$에서 값 $10$이 되려면 총 $6$만큼 증가해야 하므로 $x+4y=6$이다. 가능한 $y$는 $0,1$이다. $y=0$이면 $1$가지이고, $y=1$이면 세 번의 이동 중 $+4$ 이동의 위치가 $3$가지, 그 이동의 선택지가 $2$가지이므로 $3\cdot2=6$가지이다. 따라서 $a_3=4$에서 출발하는 경우는 $7$가지이다.

4. 마무리와 검산

두 시작점은 $a_1=1$, $a_3=4$로 따로 주어졌고, 이후의 각 인덱스는 이전 인덱스가 유일하다. 두 경우의 수를 그대로 더하면 된다.

$25+7=32$이므로 $a_k=10$을 만족시키는 자연수 $k$의 개수는 32이다.

5. 시험장용 경로

1. 처음 볼 조건: $a_{2n}=a_n+1$, $a_{4n+1}=a_{4n+3}=a_n+4$를 값이 증가하는 이동으로 읽는다.
2. 먼저 잡을 구조: 한 인덱스에서 $+1$ 이동 하나, $+4$ 이동 두 개가 나온다.
3. 계산 시작 시점: 서로 다른 이동 경로가 같은 인덱스를 만들지 않는다는 유일성을 확인한 뒤다.
4. 케이스 압축 기준: 시작점 $a_1=1$, $a_3=4$를 나누고, 증가량 방정식 $x+4y=9$, $x+4y=6$만 남긴다.
5. 빠른 검산 포인트: $3$은 $4n+3$에서 생성된 인덱스가 아니라 별도 시작점임을 놓치지 않는다.

6. 오답 차단

• $a_3=4$ 처리: $3=4n+3$으로 두면 $n=0$이므로 주어진 조건의 자연수 $n$에 들어가지 않는다. $a_3=4$는 별도 시작점이다.
• 중복 확인: 이동 경로를 세기 전에 짝수, $4n+1$, $4n+3$ 꼴이 서로 겹치지 않는지 확인한다.
• $+4$ 이동의 선택 수: $+4$ 이동 한 번마다 $4n+1$, $4n+3$ 두 선택지가 있으므로 경우의 수에 $2^y$가 붙는다.

귀납적으로 정의된 수열에서 인덱스가 여러 꼴로 갈라지면, 앞에서부터 항을 나열하기보다 한 항이 어떤 새 항을 만드는지 먼저 본다. 생성 경로가 겹치지 않는지 확인한 뒤 값의 증가량과 이동 순서를 세면 계산이 짧아진다.

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문제 검색 하는 법

[학년도 2자리][시행월 2자리][문제번호 2자리]m 형식으로 검색한다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270615m → 2027학년도 6월 모의고사 15번 수학

오류가 있으면 댓글로 알려 주면 확인 후 반영한다.

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문제 해설 정답