2027학년도 6월 고3 모의고사 수학 20번 쉬운 풀이 [270620m]

이 문제는 지수함수와 로그함수의 교점 좌표를 직접 구하는 문제가 아니다. 교점 조건을 같은 밑의 로그식으로 바꾸고, $\alpha\beta^3=1$과 맞물리는 조합을 찾는 문제이다.

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문제

$b>1$일 때 $f(x)=b^x$, $g(x)=-\log_b x$의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점을 $P(\alpha,\beta)$라 한다. $\alpha\beta^3=1$일 때 직선 $OP$의 기울기 $m$에 대하여, 빈칸 $(가)$, $(나)$, $(다)$의 값을 각각 $p$, $q$, $r$이라 두고 $(pqr)^2$을 구하는 문제이다.

검색 코드: 270620m

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정답

정답: 48

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해설

1. 교점 조건을 같은 로그식으로 맞춘다

그림에서 먼저 할 일은 점 $P(\alpha,\beta)$가 두 그래프 위에 있다는 말을 식으로 쓰는 것이다. 그러면 $\beta=b^\alpha$, $\beta=-\log_b\alpha$가 나온다.

여기서 $b$를 먼저 구하려고 하면 길이 멀어진다. 첫 번째 식은 $\alpha=\log_b\beta$로 바뀌고, 두 번째 식은 $\log_b\alpha=-\beta$로 바뀐다. 즉 $\alpha$와 $\beta$가 모두 밑이 $b$인 로그식으로 연결된다.

조건 $\alpha\beta^3=1$을 보면 $\beta^3$이 보인다. 따라서 $\log_b\alpha$와 $3\log_b\beta$를 묶으면 조건이 바로 들어간다. 이 문제의 첫 단추는 $b$의 값을 찾는 것이 아니라, $\alpha$와 $\beta$의 비를 먼저 찾는 것이다.

2. (가): 조건 $\alpha\beta^3=1$로 기울기를 구한다

$\alpha=\log_b\beta$이고 $\log_b\alpha=-\beta$이므로 다음 계산이 자연스럽게 만들어진다.

$$ \begin{aligned} 3\alpha-\beta &=3\log_b\beta+\log_b\alpha \\ &=\log_b(\alpha\beta^3) \\ &=\log_b1=0 \end{aligned} $$

따라서 $\beta=3\alpha$이다. 직선 $OP$의 기울기는 $m=\dfrac{\beta}{\alpha}$이므로 $m=3$이다. 그러므로 (가)에 들어갈 값은 $p=3$이다.

여기서 실수하기 쉬운 지점은 부호이다. $\beta=-\log_b\alpha$이므로 $\log_b\alpha=-\beta$이다. 이 음수 부호가 있어야 $3\alpha-\beta$가 나온다.

3. (나): $\beta^4=m$으로 압축한다

이제 $\beta$를 구한다. 이미 $m=\dfrac{\beta}{\alpha}$이므로 $m\alpha=\beta$이다. 양변에 $\beta^3$을 곱하면 $m\alpha\beta^3=\beta^4$이다.

문제에서 $\alpha\beta^3=1$을 주었으므로 $\beta^4=m\alpha\beta^3=m$이다. 앞에서 $m=3$을 얻었으니 $\beta^4=3$이다. 점 $P$는 제1사분면에 있으므로 $\beta>0$이고, 따라서 $\beta=3^{1/4}$이다. (나)에 들어갈 값은 $q=3^{1/4}$이다.

4. (다): $b$를 직접 구하지 않고 $g(m)$을 계산한다

마지막 빈칸은 $g(m)=-\log_b m$이다. 여기서도 $b$ 자체를 구할 필요는 없다. 이미 $\log_b\alpha=-\beta$를 알고 있으므로, $\alpha$를 중간에 두고 $\log_b m$을 바꾸면 된다.

$g(m)=-\log_b m=-\dfrac{\log_b\alpha}{\log_m\alpha}=\dfrac{\beta}{\log_m\alpha}$이다. 또 $\alpha=\dfrac{\beta}{m}$이고 $\beta^4=m$이므로 $\beta=m^{1/4}$이다. 따라서 $\log_m\alpha=\log_m\beta-1=\dfrac14-1=-\dfrac34$이다.

그러므로 $g(m)=\dfrac{\beta}{-\frac34}=-\dfrac43\beta=-\dfrac43\cdot3^{1/4}=-4\cdot3^{-3/4}$이다. 따라서 (다)에 들어갈 값은 $r=-4\cdot3^{-3/4}$이다.

5. 마무리 계산

세 빈칸의 값을 정리하면 $p=3$, $q=3^{1/4}$, $r=-4\cdot3^{-3/4}$이다.

$$ \begin{aligned} (pqr)^2 &=\left(3\cdot3^{1/4}\cdot(-4\cdot3^{-3/4})\right)^2 \\ &=(-4\sqrt3)^2 \\ &=48 \end{aligned} $$

따라서 정답은 48이다.

6. 시험장에서 남길 판단 기준

이 문제는 교점의 좌표를 직접 구하는 문제가 아니다. 조건 $\alpha\beta^3=1$을 로그로 바꾸었을 때 $\log_b\alpha+3\log_b\beta$가 한 덩어리가 된다는 점을 먼저 보는 문제이다.

1. 처음 볼 조건: 교점 조건 $\beta=b^\alpha$, $\beta=-\log_b\alpha$이다.
2. 먼저 잡을 구조: 두 식을 $\alpha=\log_b\beta$, $\log_b\alpha=-\beta$로 바꾸어 같은 밑 로그식으로 맞춘다.
3. 계산 시작 시점: $\alpha\beta^3=1$과 맞물리는 $3\alpha-\beta$가 보일 때이다.
4. 빠른 검산 포인트: $b>1$, $m=3>1$이므로 $g(m)=-\log_b m$은 음수여야 한다.

7. 오답 차단

• 부호: $\beta=-\log_b\alpha$에서 $\log_b\alpha=-\beta$가 나온다.
• 조건: 이 문제의 조건은 $\alpha\beta^3=1$이다.
• 네제곱근: $P$가 제1사분면에 있으므로 $\beta=3^{1/4}$만 가능하다.
• 마지막 빈칸: $r=-4\cdot3^{-3/4}$이며, $g(m)$이 음수라는 검산과도 맞다.

8. 역검산

$m=3$, $\beta=3^{1/4}$이면 $\alpha=\dfrac{\beta}{m}=3^{-3/4}$이다. 따라서 $\alpha\beta^3=3^{-3/4}\cdot3^{3/4}=1$로 원래 조건을 만족한다. 또한 $\beta=3\alpha$이므로 앞에서 얻은 $3\alpha-\beta=0$과도 일관된다.

마지막으로 $b>1$이고 $m=3>1$이므로 $\log_b m>0$이다. 따라서 $g(m)=-\log_b m<0$이어야 하는데, $r=-4\cdot3^{-3/4}<0$이므로 부호도 맞다.

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문제 검색 형식

학년도 2자리, 시행월 2자리, 문제번호 2자리 뒤에 m을 붙여 검색한다. 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

예: 270620m → 2027학년도 6월 모의고사 20번 수학

오류가 있으면 댓글로 알려 주면 반영한다.

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