2027학년도 6월 고3 모의고사 확률과 통계 30번 쉬운 풀이 [270630pm]

이 문제는 노란색 공과 보라색 공을 직접 배열하는 문제가 아니다. 두 색이 이웃하지 않도록 만드는 기준을 먼저 잡고, 그 기준에 맞게 경우를 나누어 세는 문제이다.

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문제

30. 노란색 공 4개, 보라색 공 4개, 검은색 공 4개가 있다.

이 12개의 공을 모두 일렬로 나열할 때, 노란색 공이 보라색 공과 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수를 구하시오.

(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]

검색 코드: 270630m

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정답

정답: 780

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해설

1. 검은색 공을 먼저 놓는다

이 문제에서 바로 세기 어려운 부분은 노란색 공과 보라색 공이 서로 이웃하지 않아야 한다는 조건이다. 두 색을 먼저 배열하려고 하면 이웃하는 순간을 계속 확인해야 해서 경우가 지저분해진다. 그래서 먼저 조건이 걸려 있지 않은 검은색 공 4개를 놓아 본다.

검은색 공 4개를 놓으면 노란색 공과 보라색 공이 들어갈 수 있는 칸이 5개 생긴다. 양끝 칸까지 포함해야 하므로 칸은 4개가 아니라 5개이다. 검은색 공끼리는 구별되지 않지만, 이렇게 생긴 5개의 칸은 왼쪽부터 위치가 다르므로 서로 다른 칸으로 본다.

이제 한 칸 안에서 무슨 일이 생기는지 본다. 한 칸 안에는 검은색 공이 없으므로, 그 칸에 노란색 공과 보라색 공이 함께 들어가면 색이 바뀌는 지점에서 반드시 $ YP $ 또는 $ PY $가 생긴다. 즉 두 색이 이웃한다.

반대로 각 칸이 비어 있거나 한 가지 색만 가지고 있으면, 서로 다른 칸 사이에는 검은색 공이 끼어 있다. 그러므로 노란색 공과 보라색 공이 이웃할 수 없다. 따라서 원래 조건은 5개의 칸 각각이 비어 있거나, 노란색 공만 들어 있거나, 보라색 공만 들어 있어야 한다는 조건으로 바뀐다.

2. 같은 색 공 4개를 칸에 나누어 넣는다

이제 세어야 할 것은 두 가지이다. 먼저 노란색 칸과 보라색 칸을 어느 칸으로 정할지 세고, 그 다음 같은 색 공 4개를 선택된 칸들에 적어도 1개씩 나누어 넣는다.

한 색 공 4개를 선택된 칸에 나누어 넣는 방법부터 정리한다. 선택된 칸이 $ r $개일 때 각 칸에는 적어도 1개가 들어가야 하므로, 경우의 수는 $ 4 $를 $ r $개의 양의 정수의 합으로 나타내는 수이다.

따라서 $ r = 1,2,3,4 $일 때 나누어 넣는 방법의 수는 차례로 $ 1,3,3,1 $이다. 이 표를 가지고 노란색 또는 보라색 공이 들어간 칸의 총개수로 경우를 나눈다. 두 색이 모두 있어야 하므로 총개수는 최소 2개이고, 전체 칸이 5개이므로 최대 5개이다.

3. 총 2칸, 총 3칸을 쓰는 경우

두 색이 들어간 칸이 총 2개이면 노란색 칸 1개, 보라색 칸 1개이다. 노란색 칸을 고르고 남은 칸에서 보라색 칸을 고르면 된다. 각 색은 한 칸에 4개가 모두 들어가므로 나누어 넣는 방법은 각각 1가지이다. 따라서 경우의 수는 $ \binom{5}{1}\binom{4}{1} = 20 $이다.

두 색이 들어간 칸이 총 3개이면 가능한 분배는 노란색 칸 1개, 보라색 칸 2개이거나 그 반대이다. 두 경우는 색 이름만 바뀐 대칭이다. 노란색 칸이 1개, 보라색 칸이 2개라고 하면 노란색 칸은 $ \binom{5}{1} $가지, 보라색 칸은 남은 4개 중 $ \binom{4}{2} $가지로 고른다. 보라색 공 4개를 2개 칸에 적어도 1개씩 넣는 방법은 3가지이다. 따라서 이 경우의 수는 $ 2 \times \binom{5}{1}\binom{4}{2} \times 3 = 180 $이다.

4. 총 4칸, 총 5칸을 쓰는 경우

남은 계산은 총 4칸과 총 5칸을 쓰는 경우이다. 여기서는 색 대칭을 이용해 계산을 짧게 묶는다.

두 색이 들어간 칸이 총 4개이면 가능한 분배는 $ (1,3) $, $ (3,1) $, $ (2,2) $이다. 여기서 순서쌍은 노란색 칸의 수, 보라색 칸의 수를 뜻한다. $ (1,3) $과 $ (3,1) $은 대칭이고, $ (2,2) $는 따로 센다.

$$ 2 \times \binom{5}{1}\binom{4}{3} \times 3 + \binom{5}{2}\binom{3}{2} \times 3 \times 3 = 390 $$

첫 항은 $ (1,3) $과 $ (3,1) $을 색만 바뀐 대칭으로 묶은 것이고, 마지막의 $ 3 $은 공 4개를 선택된 3칸에 양의 개수로 나누는 방법의 수이다. 둘째 항은 $ (2,2) $인 경우로, 노란색과 보라색을 각각 2칸에 나누는 방법이 $ 3 $가지씩이므로 $ 3 \times 3 $을 곱한다.

두 색이 들어간 칸이 총 5개이면 가능한 분배는 $ (1,4) $, $ (4,1) $, $ (2,3) $, $ (3,2) $이다. $ (1,4) $와 $ (4,1) $은 대칭이고, $ (2,3) $과 $ (3,2) $도 대칭이다.

$$ 2 \times \binom{5}{1}\binom{4}{4} + 2 \times \binom{5}{2}\binom{3}{3} \times 3 \times 3 = 190 $$

$ (1,4) $와 $ (4,1) $에서는 4칸을 쓰는 색의 공 4개가 각 칸에 1개씩 들어가므로 분배 방법이 1가지뿐이다. $ (2,3) $과 $ (3,2) $에서는 한 색을 2칸에 나누는 방법이 3가지, 다른 색을 3칸에 나누는 방법도 3가지라서 $ 3 \times 3 $이 붙는다.

이제 네 경우를 더하면 $ 20 + 180 + 390 + 190 = 780 $이다. 따라서 구하는 경우의 수는 $ \boxed{780} $이다.

5. 시험장용 판단 기준

이웃하지 않는 조건이 두 색 사이에 걸려 있으면, 두 색을 먼저 배열하지 말고 그 사이를 끊어 줄 수 있는 대상을 먼저 찾는다. 이 문제에서는 검은색 공이 그 역할을 한다. 검은색 공을 먼저 놓아 칸을 만들면, 이웃 금지 조건은 “한 칸에 두 색이 섞이면 안 된다”는 조건으로 바뀐다.

그 다음에는 칸 선택과 공 분배를 분리한다. 칸 선택은 조합으로 세고, 같은 색 공 4개를 선택된 칸에 모두 넣는 과정은 양의 정수 분할로 센다. 이때 선택된 칸에는 반드시 그 색 공이 1개 이상 들어가야 하므로 0개를 허용하는 방식으로 세면 안 된다.

6. 오답 차단

• 양끝 칸 누락: 검은색 공 4개가 만드는 칸은 양끝을 포함해 5개이다.
• 한 칸에 두 색 허용: 한 칸 안에 노란색과 보라색이 함께 있으면 반드시 이웃한다.
• 0개 분배 허용: 선택된 칸에는 해당 색 공이 적어도 1개 들어가야 한다.
• 마지막 합산: 총 5칸을 쓰는 경우는 $ 190 $이므로 최종 합산은 $ 20 + 180 + 390 + 190 $이다.

이 네 지점을 확인하면 조건 해석과 계산 구조가 모두 맞게 들어간 것이다.

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문제 검색 코드

검색 코드는 270630m이다. 앞 네 자리는 학년도와 시행월, 다음 두 자리는 문제번호, 끝의 m은 수학 글이라는 뜻이다.

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