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이것도 모르고 수능 보러 간다고? 삼도극에 유용한 삼각형 넓이 공식 본문
삼각형의 넓이를 구할 때 두 변의 길이와 끼인각의 사인값을 곱해 주로 구한다. 이번 게시글을 보고 나면 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 또 다른 하나의 도구를 얻게 된다. 대치동의 암흑의 스킬도 아니고, 교육과정 외의 내용도 아니다. 한번 정의를 한 다음, 공식의 형태를 외워 사용하면 된다.
오늘 글에서 알아본 문제 상황은 아래 그림과 같이 한 변과 양 끝각을 알 때 넓이를 바로 구하는 법에 대해 알아보려 한다.
밑변과 양 옆에 끼인각을 알 때
위 그림과 같이 삼각형이 있다.
높이를 $h$라고 하고, 밑변의 길이를 $l$, 양 끝 각을 왼쪽에서부터 각각 $\alpha,\,\beta$라 하자.
밑변을 높이와 양 끝 각을 이용해 표현하면 $\displaystyle l=\frac {h}{\tan\alpha}+\frac {h}{\tan\beta}$이다.
높이에 대해 정리하면 $\displaystyle h=l\times\frac {\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$이다.
그러므로, 이때의 삼각형의 넓이 S는 $\displaystyle S=\frac12l^2\times\frac{\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$
아래 예제를 풀어보며 적용해 보자.
2022학년도 대학수학능력시험 미적분 29번 문제이다.
문제에서 $\overline{AB}=2$라고 조건을 주었고, 중심은 점 $O$라고 이름을 붙이어 칭하도록 하자.
$f(\theta)$를 구할 때, (중심 : 점 $O$) 부채꼴 $QOA$ 넓이와 삼각형 $\triangle{QOB}$의 넓이를 더한 뒤, 삼각형 $\triangle{ARB}$의 넓이를 뺄 것이다.
부채꼴 $QOA=2\theta$, $\triangle{QOB}\approx2\theta$이다.
시험장에서 매우 당황한다면 $\triangle{ARB}$를 구하는데 애먹을 수 있는데, 그때 이 공식을 사용하면
$\displaystyle S=\frac{2^2}{2}\frac{\tan{\theta}\tan{2\theta}}{\tan{\theta}+\tan{2\theta}}\approx\frac{4\theta}{3}$
를 뇌 빼고 구할 수 있다.
Q. 그냥 양쪽 변을 근사 시켜 넓이를 구하는 게 더 빠르지 않음? 이런 거 왜 함?
양쪽 각이 0으로만 수렴한다는 보장도 없다. 또, '일반식'과 비슷한 느낌임. 이 식을 통해 넓이를 "정확히" 구한 후, 근사치를 구해 적용하는 것이므로 기존 근사 과정에서 생길 수 있는 논리적 오류를 피하기 유리하다.
만약 위 문제처럼 두 각이 0으로 수렴하는 경우라면 양 변의 길이의 근사치를 구해 넓이를 구하는 것이 더 쉬울지도 모르지만, 아래 오른쪽과 같은 문제 상황이 연출된다면 넓이를 구하기에 귀찮은 상황이 온다.
그때 공식을 사용한다면
$\begin{align}\displaystyle \lim_{x\to0}S&=\frac12\frac{\tan(\theta+\frac{\pi}3)\tan(\frac12\pi-\theta)}{\tan(\theta+\frac{\pi}3)+\tan(\frac12\pi-\theta)}\\
&=\frac12\frac1{\theta+\sqrt3}\\
&=\frac{\sqrt3}6\end{align}$
를 간단히 근사해 구할 수 있다.
이외에도, 복잡한 상황에서도 한 변과 양 끝 값을 알고 있다면 넓이를 편하게 구할 수 있다.
이 공식이 꼭 사용되리라는 보장은 없지만, 다룰 수 있는 도구는 많으면 많을수록 좋은 법.
정의를 완벽히 숙지하고 이용한다면 앞으로 사설이든 수능이든 문제를 풀 때 많은 도움을 받을 것은 분명하다.