2025학년도 대학수학능력시험 공통 20번 해설, 문제, 정답, 풀이 [251120m]

아마 이 글을 읽는 사람은 2026학년도 수능, 또는 그 이후의 수능을 준비하는 학생이 아닐까 싶다. 기출문제를 다시 풀어본다는 것은 매우 좋은 것이라 생각한다. 출제자가 어떤 스타일로 내는지, 어떤 형태에서 어떤 방식으로 풀이를 유도하는지, 문제를 멀리서도 바라보고 가까이 바라보기도 하면서 한 문제의 다양한 면모를 찾아내는 것이 중요하다.
여유를 갖고 한 문제를 끝까지 뜯어내는 것도, 혼자서 이미지 트레이닝으로 시간에 쫓겨 수능 시험을 보고있다는 마인드로 급박하게 풀어내는 것도 모두 좋은 방법이다
필자는 이 글을 통해 수험생들에게 또 다른 하나의 시각을 부여하고, 이런 방법으로도 풀 수 있겠구나 대안을 제시해주고싶어 이 글을 작성하였다. 
처음 풀 때 쉽지만은 않다고 느낀 문제이다. 만약 시험장에서 봤다면 복잡하게 생긴 숫자에 마냥 쉽게 보이지 않는 풀이 방법까지, 평정심을 잘 유지하지 못했다면 시험장에서는 어려웠을 수 있는 문제라고 생각한다. 하지만, 계산이 복잡한 문제는 아니기에 방법만 찾았다면 쉽게 풀었을 것이다. 
2025학년도 수능 수학 문제지 다운로드(한국교육과정평가원)
답지(해설X) 다운로드(한국교육과정평가원)

문제

2025학년도 대학수학능력시험 공통 20번 문제.

20. 곡선 $\displaystyle y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 과 직선 $y=x$ 가 만나는 점의 $x$ 좌표를 $k$ 라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

<조건> $x>k$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여  $f(x)=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 이고 $f(f(x))=3 x$ 이다.

$\displaystyle f\left(\frac{1}{k^3 \times 5^{3 k}}\right)$ 의 값을 구하시오. [4점]

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정답

정답: 36

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해설

일단 그래프인 $\displaystyle y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 과 $y=x$를 먼저 그려서 $k$값과 문제 상황을 이해하는데 초점을 두는것이 일반적이겠다. 

초록색 : y=(1/5)^(x-3), 파란색 y=x

그래프를 그리면 $k$값의 범위와 $f(x)$의 형태를 추측할 수 있다.
$k$값의 범위 : $2<k<3$
$f(x)$는 $x=k$를 기점으로 오른쪽의 부분
오케이. 그림으로 얻을 수 있는 힌트는 여기까지인 것 같으므로, $k$값에 대한 식을 만들어보자.

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$\displaystyle\left(\frac15\right)^{k-3}=k$라고 식을 세우고 값을 정리하면 $k\cdot5^k=5^3$임을 구할 수 있다.
어? 이 모양은 어디에서 많이 봤는데? 
그렇다. 정답에서 요구하는 값인 $\displaystyle{f}\left(\frac{1}{k^3\times5^{3k}}\right)$에서 보던 모양이다.
$\displaystyle\frac{1}{k^3\times5^{3k}}$은 $\displaystyle\left(\frac{1}{k\cdot5^k}\right)^3$으로 볼 수 있고, 위에서구한 $k\cdot5^k=5^3$을 사용하면 결국 $\displaystyle{f}\left(\frac{1}{5^9}\right)$값을 구하란 말임을 알 수 있다.

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우리가 아직까지 상자속 조건을 사용하지 않았다. 
그렇다. 상자속 조건을 사용하면 답에 더 가까이 갈 수 있겠구나!
그래서 사용하려고 들여다보니... 조금 복잡해보이는데? 합성도 되어있고 x값의 범위도 제한되어있고
하지만, 여기에서 당황하면 안된다. 천천히 끝까지 읽다보면 문제 풀이의 실마리를 잡을 수 있을 것이다. 

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아무래도 $f(f(x))=3x$가 제일 신경쓰이고 문제 풀이에 핵심적인 역할을 갖고 있다는 느낌을 받는다.
이 조건을 잘 써야할텐데... $\displaystyle{x}=\frac{1}{5^9}$를 바로 넣기엔 범위가 맞지 않는데, 다른 방법을 찾다보면
속에 있는 $f(x)$의 $x$에 적당한 값을 넣어 얻은 값이  $\displaystyle\frac{1}{5^9}$이면 된다는 생각이 날 것이다. 그 적당한 값은 $12$이고, 결국 구한 값은 $36$. 
$\therefore \text{답}=36$
 

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색
혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

문제해설정답