2025학년도 대학수학능력시험 미적분 27번 해설, 문제, 정답, 풀이 [251127m]

 

2025학년도 대학수학능력시험 미적분 27번 해설, 문제, 정답, 풀이 [251127m]

 

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문제

최고차항의 계수가 1 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 함수 $g(x)$ 를
    $g(x)=f\left(e^{x}\right)+e^{x}$
이라 하자. 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$ 에서의 접선이 $x$ 축이고 함수 $g(x)$ 가 역함수 $h(x)$ 를 가질 때, $h^{\prime}(8)$ 의 값은?

 

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정답

정답: $\displaystyle\frac{1}{36}$

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해설

최고차항의 계수가 1인 3차함수 $f(x)$는 다음과 같이 놓을 수 있다:

$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$

$g(x)$의 $(0,g(0))$에서의 접선이 x축이라고 하였으므로
$g(0)=0$, $g\prime(0)=0$
임을 알 수 있다. 

대입하면 $f(1)=-1$, $f\prime(1)=-1$

$f(x)$에 있는 미지수 3개를 모두 알기 위해서는 일반적으로 3개의 단서가 필요한데 아직 1개의 단서가 더 필요하다.

그 단서는 역함수 $h(x)$를 가진다에서 구할 수 있을 것이다.

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역함수를 가지려면 $g(x)$는 단조함수여야 한다. 

$g(x)=f(e^x)+e^x$에서 합성되어있다고 볼 수 있는 $e^x$는 단조함수이므로,
$f(x)+x$가 단조함수이면 역함수를 갖기 위한 조건이 성립한다.

$f(x)$는 3차함수이므로, 이를 미분한 값인 $f\prime(x)$는 2차함수,
즉 $f\prime(x)+1$은 2차함수인데, 단조함수이기 위해 근을 가지면 안된다.

즉 $D\leq{0}$

${f}{\prime}(x)+1=3x^2+2ax+b+1$이고, 판별식을 적용하면 $D=a^2-3(b+1)\leq{0}$

위에서 얻은 값들인 $f(1)=-1$, $f\prime(1)=-1$을 직접 대입하면
$a+b+c=-2$
$2a+b=-4$
인데, 이중 아래의 식을 위 판별식에 대입하면

$D=a^2-3(-2a-4+1)\leq{0}$
$a^2+6a+9=(a+3)^2\leq{0}$
$a=-3$
임을 구할 수 있다.

$$\therefore f(x)=x^3-3x^2+2x-1$$ 

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답을 구하기 위한 기초작업이 완료되었다.

$h\prime(8)$을 구하기 위해서는 $g(x_0)=8$인 $x_0$를 구해야 한다.

$e^{x_0}=X_0$로 치환하면

$f(X_0)+X_0=8$

$(X_0^2+3)(X_0-3)=0$이므로 $X_0=3$이고, $x_0=\ln{3}$이다.

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$\displaystyle\begin{align*} h\prime(8)&=\frac{1}{g\prime(\ln3)}\\
&=\frac{1}{36}\end{align*}$

$\left(\because\quad\begin{align*}
g\prime(\ln 3) &= f\prime(3)\cdot{3} + 3 \\
&= 33 + 3 \\
&= 36
\end{align*}\right)$

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분, k - 독서ᐧ문학ᐧ언어와 매체, p - 물리학 1]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!

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