2024학년도(2023년 시행) 6월 수학 공통 22번 (오답률 1위) 엄청 쉬운 풀이, 문제, 정답, 해설, 정답률 [240622m]

 

2024학년도 6월 모의고사 수학 오답률(정답률) Best 5(미적분 기준)

메가스터디와 EBSi 오답률을 찾아보면 많은 학생들이 22번, 30번을 포함한 기존 준킬러-킬러 문항대에서 어려움을 느낀 것을 알 수 있다. 개인적으로는 미적분 28번이 상당히 어려웠다고 생각했는데, 오답률 베스트 5에는 끼지도 못 한점이 의외이다. 

이번 게시글에서 풀이할 22번은 조금만 센스 있게 풀이하면 간단히 풀이할 수 있다. 개인적인 추측이지만, 올해 수능 킬러 테마중 하나는 정수-자연수 조건을 이용한 부등식 조절이 나오지 않을까도 조심히 예측해본다.

(왼쪽 자료 출처 : 메가스터디 https://www.megastudy.net/Entinfo/2024_jungsi/exam/Exam_main.asp?seq=311&SubMainType=I&mOne=ipsi&mTwo=435)

(오른쪽 자료 출처 : Ebsi https://www.ebsi.co.kr/ebs/xip/xipa/retrievePastGrdCutWrongAnswerRate.ebs?tab=1) 

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문제

정수 $a(a\neq0)$에 대하여 함수  $f(x)$를
$$f(x)=x^3-2ax^2$$
이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되도록 하는 $a$에 대하여 $f'(10)$의 값을 구하시오. [4점]

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정답

( 주관식 ) 380

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해설

조건을 우선 해석해보자.

두번째 줄에 있는 식은 $(x_1,f(x_1)),\,(x_2,f(x_2))$ 두 점을 잇는 선분의 기울기와 $(x_2,f(x_2)),\,(x_3,f(x_3))$ 두 점을 잇는 선분의 기울기의 곱이 $0$보다 작다고 해석할 수 있다. 세 번째 줄에 있는 조건은 이를 만족시키는 세 실수 $x_1,\,x_2,\,x_3$이 열린구간에 존재한다, 즉 하나 이상만 존재하면 두번째 조건도 성립한다고 볼 수 있다.

 

그림을 그려 어떤 상황이 되어야 하는지 관찰해보자.
$f(x)=x^3-2ax^2$라고 식이 주어져 있으니, 그래프를 오른쪽과 같이 그릴 수 있다. (a>0이라고 가정) $\displaystyle\left(-\infty,0\right)$의 구간에서 임의의 세 점을 잡아 두 선분의 기울기를 곱해보면, 어떤 경우에도 음수가 나오지 않는다는 것을 몇 번 반복해보면 알 수 있다. 똑같이 $\displaystyle\left(0,\frac{4a}3\right)$, $\displaystyle\left(\frac{4a}3,\infty\right)$의 범위에서 아무리 세 점을 잡아 선분을 그은 기울기를 곱해봐도 음의 값을 갖는 경우는 찾을 수 없다.  

곧, $x_1,\,x_2,\,x_3$을 만족시키는 구간$\displaystyle\left(k,k+\frac32\right)$은 극점, $0$과 $\displaystyle\frac{4a}3$을 각각 포함하고 있어야 한다. 

1. $\displaystyle k<0<k+\frac32$,  $k=-1$
2. $\displaystyle k<\frac{4a}3<k+\frac32$

[부등식 1] 에서 $k=-1$을 구했고, 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되려면 [부등식 2]에서 $[a] k=3\text{또는}4$ 또는, $[b] k=-4\text{또는}-3$이어야 한다. ($\because$ k의 범위는 연속적이고, 연속된 수를 곱해서 12가 나와야 하기 때문.)

조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되어야 한다 했으니, 부등식을 $k$가 가운데에 있게 표현해주자.

[a] $\displaystyle\frac{4a}3-\frac32<k<\frac{4a}3$인 범위에서 $k$가 $3\text{또는}4$가 나오려면, $k$를 감싸는 앞의 범위는 $2$이상 $3$미만 ($\because\,2<k$이어도 되기 때문), 같은 논리로 뒤의 범위는 $4$초과 $5$이하 이어야 한다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다.

$$\displaystyle2\leq\frac{4a}3-\frac32<3,\;4<\frac{4a}3\leq5$$

$$\displaystyle3<a\leq\frac{27}8$$

$\therefore$ 구간 내에 성립하는 정수 a는 존재하지 않는다.

[b] $\displaystyle\frac{4a}3-\frac32<k<\frac{4a}3$인 범위에서 $k$가 $-4\text{또는}-3$이 나오려면, $k$를 감싸는 앞의 범위는 $-5$이상 $-4$미만 ($\because\,-5<k$이어도 되기 때문), 같은 논리로 뒤의 범위는 $-3$초과 $-2$이하 이어야 한다. 이를 식으로 표현하면 아래와 같다.

$$\displaystyle-5\leq\frac{4a}3-\frac32<-4,\;-3<\frac{4a}3\leq-2$$

$$\displaystyle-\frac94<a\leq\frac32$$

범위 내의 정수 $a=-2$

$\begin{align}f'(10)&=300+80\\
&=380\end{align}$

Q. 분명 그림을 그릴 때는 a가 양수임을 가정했는데, 정답에서 a는 음수가 나오네요?
A. 그림을 그릴 때는 단지 상황 이해만을 위한 것이었다. 애초에 a가 음수임을 가정하고 그림을 그린 뒤 상황을 이해하더라도 앞에서 구한 것이랑 별반 차이가 없고, 그림을 통해 얻어낸 단서 ($0$과 $\displaystyle\frac{4a}3$을 포함해야한다)에서는 어떤게 오른쪽에 있는지 왼쪽에 있는지 중요한 것이 아닌, 단지 포함하면 된다 이므로 신경쓰지 않아도 된다.

Q. $\displaystyle-5\leq\frac{4a}3-\frac32<-4,\;-3<\frac{4a}3\leq-2$인 이유?
A. $-5<k<-2$이어도 k는 $-3$ 또는 $-4$가 나오고, $-4-\alpha<k<-3+\alpha\;(0<\alpha<1)$이어도 k는 $-3$ 또는 $-4$가 나오기 때문. 즉, k는 정수이다 라는 조건이 붙어 있으므로 구간의 앞뒤 범위를 구간으로 설정할 수 있다.

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학습에 도움이 되었으면 하고, 앞으로 검색할 때 여기에서 우선적으로 찾으면 편하게끔 하려고 한다. 혹시 풀이가 필요한 수학문제, 국어문제, 물리문제가 있다면 무슨 모의고사 몇 번 문제인지 아래 폼으로 알려주면 우선적으로 추가하겠다.

파일을 포함한 질문은 여기로 >> https://forms.gle/mMjHoqgRuY1dUtyy9

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분, k - 독서ᐧ문학ᐧ언어와 매체, p - 물리학 1]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!