2024학년도 대학수학능력시험 공통영역 20번 해설, 문제, 정답, 풀이 [241120m]

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문제

a>√2인 실수 a에 대하여 함수 f(x)를

f(x)=-x^3+ax^2+2x

라 하자. 곡선 y=f(x)위의 점 O(0,0)에서의 접선이 곡선 y=f(x)와 만나는 점 중 O가 아닌 점을 A라 하고, 곡선 y=f(x)위의 점 A에서의 접선이 x축과 만나는 점을 B라 하자. 점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점일 때 OA*AB의 값을 구하시오.

2024학년도 수능 수학 20번 문제

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정답

주관식 : 25

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해설

우선 O(0,0)에서의 접선으로 문제가 시작하므로 0에서의 기울기를 먼저 구한다.

$f'(x)=-3x^2+2ax+2$이므로, $f'(0)=2$이다.

한편, f(x)에서 접선의 기울기가 2인 지점이 x=0말고 다른 곳이 있을 수 있으므로 확인해보자.

$-3x^2+2ax+2=2$를 계산하면 $x=0, x=\frac23a$이다.

풀이 1

위 정보를 토대로 문제 상황을 그래프로 그려보면 아래와 같다.

풀이 2

한편 점 A는 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점이므로, $\angle A=90'$이다. (원주각)

이 정보를 그림에 표현하면 아래와 같다.

풀이 3

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이제 계산을 해보자. 점 A의 x좌표를 구할 것이다. 물론, 원점에서의 접선을 세워 점 A의 x좌표를 구해도 된다. 하지만, 근과 계수의 관계를 이용하면 더욱 간단히 구할 수 있다. 

삼차함수 근과 계수의 관계에 의하면 세 근의 합은 a이다. ($y=px^3+qx^2+rx+s$일 때 삼차함수 세 근의 합 = $-\frac{q}p$)

$0+0+x_A=a$, $x_A=a$

또, $\angle A=90'$이므로, 점 A에서의 접선의 기울기는 $-\frac12$이다. 
$f'(x_A)=-\frac12$로 a를 구하면, $a^2=\frac52$이다.

풀이 4

한편, 위 그림에서 삼각형만을 따로 떼어오면 아래 그림과 같다. (길이 비율은 기울기 정의를 이용)

풀이 5

따라서 $\overline{OA}=\sqrt5a$, $\overline{AB}=2\sqrt5a$ 이므로, 
$\begin{align}
\overline{OA}\cdot\overline{AB}&=10a^2\\
&=25\end{align}$

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분, k - 독서ᐧ문학ᐧ언어와 매체, p - 물리학 1]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색

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