2022학년도(2021년 시행) 11월(대수능) 미적분 29번 삼도극 풀이, 식 근사 풀이, 정답, 문제 [221129m]

 

서론

느낌이 삼도극 문제가 나올 것 같지가 않지만, 그래도 인생은 혹시 모르니 준비하는 것이 좋을 듯하다. 이번 문제는 2022학년도 대학수학능력시험 오답률 86%에 달하는 문제이다. 

앞선 국어시험이 되게 어려웠고, 이 문제도 만만치 않아 수험생들의 멘탈이 많이 흔들렸을 것으로 예상된다.

도형근사 식 근사 나누기는 뭐하지만, 두 가지의 접근 방법을 모두 다 올리므로, 참고하면 좋겠다.

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문제

2022학년도 대학수학능력시험 수학 미적분 29번

그림과 같이 길이가 $2$인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위에 두 점 P, Q를 $\angle {PAB}=\theta$, $\angle {QBA}=2\theta$가 되도록 잡고, 두 선분 AP, BQ의 교점을 R라 하자. 선분 AB 위의 점 S , 선분 BR 위의 점 T , 선분 AR 위의 점 U를 선분 UT 가 선분 AB에 평행하고 삼각형 STU 가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 AR , QR와 호 AQ로 둘러싸인 부분의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 STU 의 넓이를 $g(\theta)$라 할 때,
$\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\frac {g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\frac{q}{p}\sqrt3$이다. $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $\displaystyle 0 <\theta <\frac {\pi}6$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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정답

( 주관식 ) 11

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해설

$f(\theta)$를 구할 때 부채꼴 $QOA$ 넓이와 삼각형 $\triangle{QOB}$의 넓이를 더한 뒤, 삼각형 $\triangle{ARB}$의 넓이를 빼야 한다.

$\displaystyle f(\theta)=2\theta+\sin4\theta\frac12-\frac{2^2}{2}\frac{\tan{\theta}\tan{2\theta}}{\tan{\theta}+\tan{2\theta}}$

문제 상황에서 $\displaystyle\lim_{\theta\to0+}$이라 했으므로 $f(\theta)$를 극한 보내면 다음과 같다.
$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to0+}f(\theta)&=2\theta+2\theta-\frac43\theta\\
&=\frac83\theta\end{align}$

(만약 위 삼각형 ARB의 넓이를 구하는 공식이 뭔지 이해가 안 된다면? >> https://seook.tistory.com/29)

이것도 모르고 수능 보러 간다고? 삼도극에 유용한 삼각형 넓이 공식

삼각형 ARB의 넓이는 도형 극한으로도 구할 수 있다. 문제 상황에서 AR과 RB의 길이를 구하면 각각 $\frac43$, $\frac23$이다.
따라서 근사된 삼각형의 넓이는 다음과 같다.
$\displaystyle S_{\triangle{ARB}}=\frac12\frac432\cdot\theta=\frac12\frac232\cdot2\theta$

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$g(\theta)$를 구하려면 정삼각형의 한 변의 길이를 알아야 한다. 그 길이를 $a$라고 하면, 선분 AB의 길이를 $a$로 표현할 수 있다.
선분 AS와 BS의 길이를 사인법칙을 통해 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{\overline{AS}}{\sin(\frac{2\pi}{3}-\theta)}=\frac{a}{\sin\theta}$

$\displaystyle \frac{\overline{BS}}{\sin(\frac{2\pi}{3}-2\theta)}=\frac{a}{\sin2\theta}$

두 길이의 합은 2라 하고,  그 식을 $\theta\to0+$(으)로 극한을 보내면 다음과 같다.

$\displaystyle\begin{align}\overline{AS}+\overline{BS}&=2\\
&=\frac{\sqrt3a}{2\theta}+\frac{\sqrt3a}{4\theta}\\
&=\frac{3\sqrt3}{4\theta}a\end{align}$

$\displaystyle\therefore a=\frac{8\theta}{3\sqrt3}$

근사된 $g(\theta)$의 넓이는 다음과 같다.

$\displaystyle\begin{align}g(\theta)&=\frac{\sqrt3}{4}a^2\\
&=\frac{\sqrt3}{4}\frac{64}{27}\theta^2\\
&=\frac{16\sqrt3}{27}\theta^2\end{align}$

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따라서 정답을 구해보면

$\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\frac {g(\theta)}{\theta\times f(\theta)}=\frac{\displaystyle\frac{16\sqrt3}{27}\theta^2}{\displaystyle\frac83\theta^2}=\frac29$

$p=9,\,q=2$, $p+q=11$

정답은 11이다.

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학습에 도움이 되었으면 하고, 앞으로 검색할 때 여기에서 우선적으로 찾으면 편하게끔 하려고 한다. 혹시 풀이가 필요한 수학문제, 국어문제, 물리문제가 있다면 무슨 모의고사 몇 번 문제인지 아래 폼으로 알려주면 우선적으로 추가하겠다.

파일을 포함한 질문은 여기로 >> https://forms.gle/mMjHoqgRuY1dUtyy9

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문제 검색 하는 법

문제 검색 하는 법 : [학년도/시행월/문제번호/과목명]
과목명 : [m - 수학 1ᐧ수학 2ᐧ미적분, k - 독서ᐧ문학ᐧ언어와 매체, p - 물리학 1]
ex) 24학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이의 경우 "240630m"(으)로 검색

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!