2023학년도 11월(대수능) 미적분 28번 풀이, 식 근사, 도형 근사 풀이, 정답, 문제 [231128m]

미적분 근사 문제는 식근사, 도형근사 둘 다 알고 있으면 편하다. 하지만 편한 만큼 둘 다 사용하면 안 되는 상황이 존재한다는 단점이 존재한다. 그럴 때는 정석으로 풀어나갈 수 있는 힘이 필요하다. 역시 중요한 건 기초.

필자는 식 근사를 베이스로, 도형근사는 몇 가지 유용한 점만 빼내어 체득했다. 혹시 근사를 체득하려고 한다면, 식 근사를 우선적으로 학습하는 것을 추천한다.  추후에 식 근사 관련 글을 올리겠다.

아래에 조금 불친절한 설명이 기술되어 있으나, 모두 조금만 근사 풀이를 할 수 있다면 이해할 수 있을 것이라고 생각한다. 또, 궁금한 점이 있다면 언제든 편하게 댓글로 질문 바란다. 

2023학년도 대수능이 끝난지 벌써 4개월이 지났다. 필자도 2023학년도 대수능을 보고 대학교에 진학했다. 수능 현장에서는 잘 보이지 않아 푸는데 애 먹었던 문제들이 많았는데, 이 문제도 그 중 하나이다. 이 글을 읽는 수험생 모두 잘 되길 기원하고, 한가지 해주고 싶은 말이 있다면, "기계처럼 할 수 있는 풀이 일반 원칙을 만들자"인듯 하다. 정말, 당황해도 동요없이 풀 수 있는 무기가 있는 자와 없는 자의 차이는 시험장에서 명확히 구분되고, 그 구분이 된 티는 시험 점수에서 나는 듯 하다. (경험적으로 얻은 결론임)

문제

모바일에서 글씨가 깨진다면 여기로 >> https://seook.tistory.com/12

그림과 같이 중심이 O이고 길이가 2인 선분 $\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원 위에 $\displaystyle\angle{AOC}=\frac{π}{2}$ 인 점 C가 있다. 호 BC위에 점 P와 호 CA위에 점 Q를 $\overline{PB}$ = $\overline{QC}$가 되도록 잡고, 선분 $\overline{AP}$ 위에 점 R를 $\displaystyle\angle{CQR}=\frac{\theta}{2}$가 되도록 잡는다. 선분 $\overline{AP}$와 선분 $\overline{CO}$의 교점을 S라 하자. $\angle{PAB}=\theta$일 때, 삼각형 POB의 넓이를 $f(\theta)$, 사각형 CQRS의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$\displaystyle\lim_{\theta\to0+}\frac{3f(\theta)-2g(\theta)}{\theta^2}$의 값은? (단, $\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{4}$)

정답

2번

풀이

우선 각을 먼저 표현해 봅시다.
$\angle{APO}=\theta$
$\angle{POB}=2\theta$
$\displaystyle\angle{PBO}=\angle{BPO}=\frac{\pi}{2}-\theta$
$\displaystyle\angle{POC}=\frac{\pi}{2}-\angle{POB}=\frac{\pi}{2}-2\theta$
원주각의 성질에 따라 $\displaystyle\angle{QCS}=\frac{\pi}{2}-\theta$
따라서$\displaystyle\angle{QRS}=\frac{\pi}{2}$

$\overline{PB} = 2\sin{\theta} \approx 2\theta$
$\overline{SO} = \sin{\theta} \approx \theta$
$\overline{CS} = 1 - \overline{SO} = 1-\theta$
이고, 원주각의 성질을 이용해
$\overline{QC}= 2\theta$임을 구할 수 있다.

$\begin{align}
\displaystyle f(\theta) & =1\cdot1\cdot\sin2\theta\cdot\frac12\\
&=\theta
\end{align}$

$g(\theta)$는 보고서 사다리꼴 넓이로 구하야하겠다는 생각이 들었다.
사다리꼴의 넓이를 구하기 위해선, 아랫변과 윗변, 높이가 필요한데 현재 조건으로는 윗변의 길이를 모른다. 윗변의 길이를 알아내기 위해 큰 삼각형을 상상해 풀이했다. 그림과 같이 비율 법칙을 사용해 윗변의 길이를 구하면 $\theta(\theta+1)$임을 알 수 있다.
참고로 높이는 후술되어있지만, $\displaystyle(1-\theta)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$이다.
$\begin{align}\displaystyle
g(\theta)&=\text{(아랫변 + 윗변)}\cdot\text{(높이)}\cdot\frac12\\
&=(2\theta+\theta(\theta+1))(1-\theta)\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\cdot\frac12\\
&\approx(-\theta^3-2\theta^2+3\theta)\cdot\frac12
\end{align}$

$\begin{align}\displaystyle
&\lim_{\theta\to0+}\frac{3f(\theta)-2g(\theta)}{\theta^2}\\
&=\lim_{\theta\to0+}\frac{3\theta-(-\theta^3-2\theta^2+3\theta)}{\theta^2}\\
&=\lim_{\theta\to0+}\frac{\theta^3+2\theta^2}{\theta^2}\\
&=\lim_{\theta\to0+}\theta+2\\
&=2
\end{align}$

g(θ) 구할 때 사다리꼴의 높이?

 

위 그림과 같이 오른쪽의 세로변을 왼쪽으로 조금씩 말다 보면 작은 삼각형이 하나 생기는 것을 상상할 수 있다. 
그 삼각형에서 높이를 구하면 $\displaystyle(1-\theta)\sin\left(\frac {\pi}{2}-\theta\right)$임을 알 수 있다.

전체 풀이

학습에 도움이 되었으면 하고, 앞으로 검색할 때 여기에서 우선적으로 찾으면 편하게끔 하려고 한다. 혹시 풀이가 필요한 수학문제, 국어문제, 물리문제가 있다면 무슨 모의고사 몇 번 문제인지 아래 폼으로 알려주면 우선적으로 추가하겠다.

파일을 포함한 질문은 여기로 >> https://forms.gle/mMjHoqgRuY1dUtyy9

---

 

2023학년도 11월 대학수학능력평가 다른 문제

추가 중...

유사한 다른 문제

2306 미적분 29번 - https://seook.tistory.com/10

23년 6월 미적분 29번 풀이, 식 근사, 도형 근사 풀이

혹시 오류가 있다면 언제든 지적 부탁드립니다! 감사합니다!