2023학년도 9월 미적분 28번 삼도극 풀이, 식 근사 풀이, 정답, 문제 [230928m]

미적분 근사 문제는 식근사, 도형근사 둘 다 알고 있으면 편하다. 하지만 편한 만큼 둘 다 사용하면 안 되는 상황이 존재한다는 단점이 존재한다. 그럴 때는 정석으로 풀어나갈 수 있는 힘이 필요하다. 역시 중요한 건 기초.

필자는 식 근사를 베이스로, 도형근사는 몇 가지 유용한 점만 빼내어 체득했다. 혹시 근사를 체득하려고 한다면, 식 근사를 우선적으로 학습하는 것을 추천한다.  추후에 식 근사 관련 글을 올리겠다.

아래에 조금 불친절한 설명이 기술되어 있으나, 모두 조금만 근사 풀이를 할 수 있다면 이해할 수 있을 것이라고 생각한다. 또, 궁금한 점이 있다면 언제든 편하게 댓글로 질문 바란다. 

이 글을 읽는 수험생 모두 잘 되길 기원하고, 한 가지 해주고 싶은 말이 있다면, "기계처럼 할 수 있는 풀이 일반 원칙을 만들자"인 듯하다. 정말, 당황해도 동요 없이 풀 수 있는 무기가 있는 자와 없는 자의 차이는 시험장에서 명확히 구분되고, 그 구분이 된 티는 시험 점수에서 나는 듯하다. (경험적으로 얻은 결론임)

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\displaystyle\frac{\pi}{2}$인 부채꼴 $OAB$가 있다. 호 $AB$위의 점 $P$에 대하여 $\displaystyle\overline {PA}=\overline {PC}=\overline {PD}$가 되도록 호 $PB$위에 점 $C$ 와 선분  $OA$위에 점 $D$를 잡는다. 점 $D$를 지나고 선분 $OP$와 평행한 직선이 선분 $PA$와 만나는 점을 $E$라 하자. $\angle {POA}=\theta$일 때, 삼각형$CDP$의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 EDA의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.
$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\frac{g(\theta)}{\theta^2\times f(\theta)}$의 값은? (단, $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$)

정답

4번$\quad\displaystyle\frac12$

풀이

모바일에서 글씨가 깨진다면 여기로 >> https://seook.tistory.com/13

발문에서 길이 동일 조건과, 평행 조건을 주었으니 미리 확인하고 각을 체크해보도록 하자.
$\angle{EDA}=\theta$
$\displaystyle\angle{DAE}=\angle{DEA}=\frac{\pi}{2}-\frac12\theta$
$\displaystyle\angle{DPA}=\theta$
$\displaystyle\angle{OPD}=\frac{\pi}{2}-\frac12\theta-\theta=\frac{\pi}{2}-\frac32\theta$
$\displaystyle\angle{OPC}=\frac{\pi}{2}-\frac12\theta \quad (\because \overline{PC}=\overline{PA})$
$\displaystyle\angle{DPC}=\angle{OPC}+\angle{OPD}=\pi-2\theta$

각을 체크했으니, 이번에는 길이를 체크해보자.

$\displaystyle\overline{OA}=1$
$\displaystyle\overline{PA}=2\sin\frac12\theta \approx \theta$
$\displaystyle\overline{DA}=2\cdot\theta\sin\frac12\theta \approx \theta^2$
$\displaystyle\overline{PC}=\theta \quad (\because\overline{PC}=\overline{PD}=\overline{PA}$)
$\displaystyle\overline{PD}=\theta \quad (\because\overline{PC}=\overline{PD}=\overline{PA}$)

남은건 계산

$\begin{align}\displaystyle
f(\theta)&=\theta\cdot\theta\cdot\sin(\pi-2\theta)\cdot\frac12\\
&\approx\theta^3
\end{align}$

$\begin{align}\displaystyle
g(\theta)&=\theta^2\cdot\theta^2\cdot\sin\theta\cdot\frac12\\
&\approx\frac12\theta^5
\end{align}$

$\begin{align}\displaystyle
&\lim_{\theta\to0+}\frac{g(\theta)}{\theta^2\times f(\theta)}\\
&=\lim_{\theta\to0+}\frac{\frac12\theta^5}{\theta^2\cdot\theta^3}\\
&=\frac12
\end{align}$

답은 $\displaystyle\frac12$, 4번이다.

전체풀이

이번 문제는 발문을 읽고 천천히 체크했다면 체감상 크게 어렵지 않았을 것이다. 쉬운 문제는 쉬운대로 중요한 법, 복습할 때 왜 쉽게 풀었는지, 이 문제에서 출제자가 강조하고자 하는 부분은 무엇인지 꼭 혼자서 생각해보길 바란다.

필자가 보기에는 원주각의 성질(길이가 같다는 조건을 통해 간접적으로 주어진 조건)을 잘 사용할 수 있는지 물어보는것 같았다.

학습에 도움이 되었으면 하고, 앞으로 검색할 때 여기에서 우선적으로 찾으면 편하게끔 하려고 한다. 혹시 풀이가 필요한 수학문제, 국어문제, 물리문제가 있다면 무슨 모의고사 몇 번 문제인지 아래 폼으로 알려주면 우선적으로 추가하겠다.

파일을 포함한 질문은 여기로 >> https://forms.gle/mMjHoqgRuY1dUtyy9

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