23학년도 6월 미적분 29번 풀이, 식 근사, 도형 근사 풀이 [230629m]

미적분 근사 문제는 식근사, 도형근사 둘 다 알고 있으면 편하다. 하지만 편한 만큼 둘 다 사용하면 안 되는 상황이 존재한다는 단점이 존재한다. 그럴 때는 정석으로 풀어나갈 수 있는 힘이 필요하다. 역시 중요한 건 기초.

필자는 식 근사를 베이스로, 도형근사는 몇 가지 유용한 점만 빼내어 체득했다. 혹시 근사를 체득하려고 한다면, 식 근사를 우선적으로 학습하는 것을 추천한다.  추후에 식 근사 관련 글을 올리겠다.

아래에 조금 불친절한 설명이 기술되어 있으나, 모두 조금만 근사 풀이를 할 수 있다면 이해할 수 있을 것이라고 생각한다. 또, 궁금한 점이 있다면 언제든 편하게 댓글로 질문 바란다. 

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 π/2 인 부채꼴 OAB가 있다. 호 AB 위의 점 P에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 H라 하고, ∠OAP를 이등분하는 직선과 세 선분 HP, OP, OB의 교점을 각각 Q, R, S라 하자. ∠APH= θ일 때, 삼각형 AQH의 넓이를 f(θ), 삼각형 PSR의 넓이를 g(θ) 라 하자.
lim(θ->0+)θ³*g(θ) / f(θ)=k일 때, 100k의 값을 구하시오. (단, 0<θ<π/4)

풀이

알 수 있는 각을 최대한 표현한다.
∠AHP=π/4-θ/2
∠AOP=2θ
∠ASO=π/4+θ/2

알아낸 각으로 길이를 최대한 표시한다.
AO=1, OP=1 ∵r=1
AP=2θ ∵추후 설명 예정
AH=2θ² ∵lim(AP×sin(θ))
HQ=2θ² ∵아래에 설명되어 있음 [설명 1]
PR=2θ/(1+2θ) ∵아래에 설명되어 있음 [설명 2]

남은 건 계산
k=1/2가 나와, 100k = 50 임을 구할 수 있다.
g(θ)를 구하는 논리는 [설명 3]에 나와있음.

설명 1

현재 도형에서 θ를 0+으로 보낸다고 상상해 보면,  삼각형 AHQ는 직각이등변삼각형에 다다를 것이다.

설명 2

∠A는 이등분되므로, 그림과 같이 각 변의 비율은 밑변의 비율과 같다는 점에서 착안함

설명 3

위 그림과 같다.
학습에 도움이 되었으면 하고, 앞으로 검색할 때 여기에서 우선적으로 찾으면 편하게끔 하려고 한다. 혹시 풀이가 필요한 수학문제, 국어문제, 물리문제가 있다면 무슨 모의고사 몇 번 문제인지 아래 폼으로 알려주면 우선적으로 추가하겠다.

파일을 포함한 질문은 여기로 >> https://forms.gle/mMjHoqgRuY1dUtyy9

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